Disyunción exclusiva

La disyunción exclusiva es la operación lógica que une dos proposiciones y resulta verdadera solo cuando una de ellas es verdadera y la otra falsa. Corresponde a la idea de «o una cosa o la otra, pero no las dos» y se representa con símbolos como ⊕ o ⊻. En informática se conoce como XOR y es una pieza básica de los circuitos digitales, la detección de errores y el cifrado.

¿Qué es la disyunción exclusiva?

En lógica proposicional, la disyunción exclusiva es un conector binario: toma dos proposiciones, p y q, y forma una proposición compuesta, p ⊕ q, que se lee «o p o q» o «p o bien q, pero no ambas». Su valor de verdad depende únicamente de los valores de sus componentes: es verdadera cuando estos son distintos y falsa cuando coinciden.

El nombre XOR procede del inglés exclusive or. En la tradición lógica se suele recordar que el latín tenía dos palabras para «o»: vel, asociada al sentido inclusivo, y aut, al exclusivo, aunque en los textos latinos el uso no era tan estricto como sugiere esa distinción.

Tabla de verdad

Con dos proposiciones hay cuatro combinaciones posibles de valores. La disyunción exclusiva es verdadera (V) en las dos filas centrales, donde los valores difieren:

Si se escriben 1 para verdadero y 0 para falso, la operación coincide con la suma módulo 2: 0 ⊕ 0 = 0, 0 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 0 = 1 y 1 ⊕ 1 = 0. De ahí que el símbolo ⊕ recuerde a un signo de suma rodeado por un círculo.

Símbolos y notación

Algunos manuales usan además una «w» o una disyunción con una barra encima; conviene comprobar siempre la notación que adopta cada texto.

Diferencia con la disyunción inclusiva

La disyunción ordinaria de la lógica, p ∨ q, es inclusiva: es verdadera cuando al menos una de las proposiciones lo es, incluido el caso en que lo son las dos. La exclusiva solo cambia esa primera fila:

De esta comparación salen varias equivalencias útiles:

• p ⊕ q ≡ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q): «al menos una, pero no las dos».
• p ⊕ q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q): «solo la primera o solo la segunda».
• p ⊕ q ≡ ¬(p ↔ q): es la negación del bicondicional.

Propiedades

• Conmutativa: p ⊕ q ≡ q ⊕ p.
• Asociativa: (p ⊕ q) ⊕ r ≡ p ⊕ (q ⊕ r), por lo que pueden omitirse los paréntesis.
• Elemento neutro: p ⊕ F ≡ p.
• Con lo verdadero niega: p ⊕ V ≡ ¬p.
• Autoinversa: p ⊕ p ≡ F. En consecuencia, (p ⊕ q) ⊕ q ≡ p: aplicar dos veces la misma «clave» devuelve el valor original.
• No es idempotente, a diferencia de la disyunción inclusiva, en la que p ∨ p ≡ p.
• Paridad: una cadena p₁ ⊕ p₂ ⊕ … ⊕ p_n es verdadera si y solo si es verdadero un número impar de componentes.

En teoría de conjuntos, su equivalente es la diferencia simétrica, A △ B, formada por los elementos que pertenecen a uno solo de los dos conjuntos.

La disyunción exclusiva en el lenguaje

En español, la conjunción «o» puede tener valor inclusivo o exclusivo, y es el contexto el que lo decide. La gramática académica señala que la disyunción reiterada, «o… o», y las fórmulas «o bien… o bien» favorecen la lectura excluyente. Algunos ejemplos:

• Exclusiva: «O apruebas el examen o repites el curso»; «El menú incluye postre o café» (si no se pueden pedir los dos); «Hoy es martes o miércoles».
• Inclusiva: «Se admiten candidatos con experiencia o con un máster» (quien tenga ambas cosas también puede presentarse).
• Ambigua: «Puedes venir el sábado o el domingo» puede significar uno de los dos días o cualquiera de ellos.

Cuando la ambigüedad puede causar problemas, como en contratos, normas o enunciados de exámenes, se aclara con expresiones como «pero no ambos», «solo uno de los dos» o «o ambos». Las conjunciones disyuntivas del idioma, por tanto, no siempre equivalen al conector de la lógica.

Usos en informática y electrónica

• Puerta lógica XOR: circuito digital cuya salida vale 1 cuando sus dos entradas son distintas.
• Sumadores: en un semisumador, la cifra de la suma de dos bits es A ⊕ B y el acarreo es A ∧ B. Así suman los procesadores.
• Bit de paridad: al hacer el XOR de todos los bits de un dato se obtiene un bit que permite detectar si uno de ellos ha cambiado durante una transmisión. Ciertos sistemas de discos, como RAID 5, usan esta idea para reconstruir datos perdidos.
• Cifrado: combinar un mensaje con una clave mediante XOR y repetir la operación con la misma clave lo descifra. Es la base del cifrado de Vernam, patentado por Gilbert Vernam en 1919, y aparece en muchos algoritmos modernos.
• Interruptores conmutados: en la instalación de una escalera con dos interruptores, cambiar cualquiera de ellos invierte el estado de la luz; el comportamiento es el de una disyunción exclusiva (o de su negación, según el cableado).
• Programación: el operador ^ sirve para invertir bits concretos con una máscara o para comprobar si dos valores difieren.

Ejercicios resueltos

Importancia de la disyunción exclusiva

Aunque es menos conocida que la conjunción o la disyunción inclusiva, la disyunción exclusiva aparece en muchos razonamientos cotidianos y en la base técnica de los ordenadores. Comprenderla ayuda a interpretar con precisión enunciados con «o», a evitar errores al formalizar argumentos y a entender por qué las máquinas pueden sumar, detectar errores o cifrar información con operaciones tan simples sobre ceros y unos.

Preguntas frecuentes

Referencias

• Copi, I. M. y Cohen, C. Introducción a la lógica. Limusa.
• Garrido, M. Lógica simbólica. Tecnos.
• Rosen, K. H. Matemática discreta y sus aplicaciones. McGraw-Hill.
• Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española. Nueva gramática de la lengua española. Espasa.