Ángulo obtuso
El ángulo obtuso mide más de 90° y menos de 180°: es más abierto que un ángulo recto.
Un ángulo obtuso es un ángulo «abierto»: sobrepasa la esquina de una escuadra, pero todavía no llega a convertirse en una línea recta. Lo vemos en el respaldo reclinado de una silla, en los lados de un hexágono o en la copa de un compás muy abierto. Su estudio es esencial para clasificar triángulos y para entender por qué, en trigonometría, el coseno puede ser negativo.
¿Qué es un ángulo obtuso?
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor que 90° y menor que 180°. En radianes, mide entre π/2 y π.
Se sitúa, pues, entre el ángulo recto y el ángulo llano. La palabra «obtuso» viene del latín obtusus, «romo» o «sin punta», por contraste con el ángulo agudo, que sí la tiene. Pertenece a la clasificación general de los ángulos según su medida.
Características del ángulo obtuso
- Su medida está estrictamente entre 90° y 180°; ni 90° ni 180° son obtusos.
- Su suplemento (lo que le falta para 180°) es un ángulo agudo.
- No tiene complemento, porque ya supera los 90°.
- Pertenece al segundo cuadrante del plano cartesiano.
- Su seno es positivo, y su coseno y su tangente son negativos.
Razones trigonométricas de un ángulo obtuso
Para un ángulo obtuso α, la relación con su suplemento permite calcular sus razones:
cos α = −cos (180° − α)
tan α = −tan (180° − α)
Por ejemplo, sen 150° = sen 30° = 1/2 y cos 150° = −cos 30° = −√3/2.
| α | sen α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| 120° | √3/2 | −1/2 | −√3 |
| 135° | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 150° | 1/2 | −√3/2 | −√3/3 |
Ángulos obtusos en triángulos y polígonos
Un triángulo puede tener, como máximo, un ángulo obtuso, porque dos de ellos ya sumarían más de 180°. Si lo tiene, se llama triángulo obtusángulo, y los otros dos ángulos son necesariamente agudos.
Además, el lado opuesto al ángulo obtuso es el más largo y cumple una desigualdad respecto al teorema de Pitágoras. Si C es obtuso:
Esta relación procede del teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab cos C, donde el término −2ab cos C resulta positivo cuando cos C es negativo.
En los polígonos regulares, los ángulos interiores son obtusos a partir del pentágono:
| Polígono regular | Lados | Ángulo interior |
|---|---|---|
| Pentágono | 5 | 108° |
| Hexágono | 6 | 120° |
| Octógono | 8 | 135° |
| Decágono | 10 | 144° |
El ángulo interior de un polígono regular de n lados se calcula con (n − 2) × 180° ÷ n.
Ejemplos cotidianos
Un ángulo obtuso aparece en un respaldo de silla ligeramente reclinado, en un portátil con la pantalla muy abierta, en las agujas del reloj a las 4:00 (120°) o en la unión entre las celdas de un panal de abeja, cuyos hexágonos tienen ángulos de 120°.
Ejercicios resueltos
1. En un triángulo, dos ángulos miden 25° y 40°. ¿Cuánto mide el tercero y de qué tipo es?
180° − 25° − 40° = 115°. Como 90° < 115° < 180°, es obtuso. Resultado: 115°, obtuso (triángulo obtusángulo).
2. Halla el suplemento de un ángulo obtuso de 125°.
180° − 125° = 55°. Resultado: 55°, un ángulo agudo.
3. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un octógono regular?
Suma: (8 − 2) × 180° = 1080°. Cada ángulo: 1080° ÷ 8 = 135°. Resultado: 135°, obtuso.
4. Un triángulo tiene lados de 3, 4 y 6 cm. ¿Es obtusángulo? Calcula el ángulo mayor.
El lado mayor es 6: 6² = 36 y 3² + 4² = 25. Como 36 > 25, el ángulo opuesto a 6 es obtuso. Por el teorema del coseno, cos C = (9 + 16 − 36) ÷ (2 × 3 × 4) = −11/24 ≈ −0,458, así que C ≈ 117,3°. Resultado: sí, C ≈ 117,3°.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto mide un ángulo obtuso?
¿Cuántos ángulos obtusos puede tener un triángulo?
¿Por qué el coseno de un ángulo obtuso es negativo?
¿Cuál es la diferencia entre un ángulo agudo y uno obtuso?
¿Un ángulo de 180° es obtuso?
Referencias
- Real Academia Española: Diccionario de la lengua española, voces «ángulo» y «obtuso».
- Baldor, A.: Geometría plana y del espacio y trigonometría.
- Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S.: Precálculo: matemáticas para el cálculo.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2024). «Ángulo obtuso». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/angulo-obtuso/
