Ángulo

El ángulo es una de las figuras básicas de la geometría: aparece cada vez que dos líneas se cruzan, cada vez que giramos un objeto y cada vez que una esquina separa dos paredes. Medirlo permite describir inclinaciones, giros y formas, y por eso es imprescindible en la trigonometría, la física, la arquitectura y la navegación.

¿Qué es un ángulo?

Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas, llamadas lados, que comparten un mismo punto de origen, llamado vértice. También puede entenderse como la región del plano comprendida entre esas dos semirrectas o, de forma dinámica, como la cantidad de giro necesaria para llevar un lado hasta superponerlo con el otro.

La palabra procede del latín angulus, que significa «rincón» o «esquina».

Elementos de un ángulo

• Vértice: punto común de las dos semirrectas (se suele designar con una letra mayúscula, como O).
• Lados: las dos semirrectas que parten del vértice. Se distinguen el lado inicial y el lado final cuando se mide un giro.
• Amplitud: la medida de la abertura entre los lados, expresada en grados, radianes u otra unidad.

Un ángulo se nombra con tres letras con el vértice en medio, ∠AOB, con una letra sobre el vértice, Â, o con una letra griega minúscula, como α, β o θ.

Unidades para medir ángulos

El instrumento clásico para medir un ángulo en papel es el transportador. En matemáticas se usan tres unidades principales, todas relacionadas con la vuelta completa.

El grado sexagesimal se subdivide en 60 minutos (′) y cada minuto en 60 segundos (″). Así, 1° = 60′ = 3600″. El radián es la unidad del Sistema Internacional: un ángulo mide 1 radián cuando el arco que abarca en una circunferencia tiene la misma longitud que su radio. Por eso 1 rad ≈ 57,2958°.

Conversión entre grados y radianes

La equivalencia de partida es 180° = π rad.

Tipos de ángulos según su medida

Relaciones entre pares de ángulos

• Complementarios: suman 90°. El complemento de α es 90° − α.
• Suplementarios: suman 180°. El suplemento de α es 180° − α.
• Adyacentes: comparten vértice y un lado, y los otros dos lados forman una recta; por tanto, son suplementarios.
• Opuestos por el vértice: se forman al cruzarse dos rectas y están uno frente al otro; siempre son iguales.
• Consecutivos: comparten vértice y un lado, sin solaparse.

Cuando una recta transversal corta a dos rectas paralelas, se generan parejas de ángulos iguales: los correspondientes, los alternos internos y los alternos externos. Esta propiedad es la base para demostrar que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.

Ángulos en figuras geométricas

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180° en geometría euclídea. En un polígono convexo de n lados, la suma vale:

Así, un cuadrilátero suma 360° y un pentágono, 540°. En un polígono regular, cada ángulo interior mide S ÷ n.

Aplicaciones

Los ángulos sirven para orientar mapas y brújulas (rumbos), calcular la inclinación de una cubierta, programar el giro de un robot, diseñar engranajes o determinar la altura de un edificio mediante trigonometría. En física, el ángulo de incidencia de un rayo de luz determina cómo se refleja o se refracta.

Ejercicios resueltos

Preguntas frecuentes

Referencias

• Real Academia Española: Diccionario de la lengua española, voz «ángulo».
• Euclides: Elementos, Libro I (definiciones de ángulo, ángulo recto, agudo y obtuso).
• Baldor, A.: Geometría plana y del espacio y trigonometría.