Trigonometría
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. A partir de unas pocas razones, como el seno, el coseno y la tangente, permite calcular distancias y alturas que no se pueden medir directamente, desde la altura de una torre hasta la posición de un barco. Es una herramienta básica de la topografía, la navegación, la astronomía, la física y la ingeniería.
¿Qué es la trigonometría?
La trigonometría es la parte de la geometría y del análisis que estudia las relaciones métricas entre los lados y los ángulos de un triángulo, y las funciones asociadas a esos ángulos. Su objetivo clásico es la resolución de triángulos: hallar todos sus lados y ángulos a partir de algunos datos conocidos.
El término procede del griego trígōnon («triángulo») y métron («medida»), es decir, «medida de triángulos». La palabra latina trigonometria fue popularizada por el matemático Bartholomeus Pitiscus, que la usó como título de su obra de 1595.
Breve historia
- Antigüedad: Hiparco de Nicea (siglo II a. C.) elaboró tablas de cuerdas para resolver problemas de astronomía y suele considerarse el fundador de la trigonometría. Ptolomeo las desarrolló en el Almagesto (siglo II d. C.).
- India y mundo islámico: los matemáticos indios introdujeron la función seno, a partir de la semicuerda, y los astrónomos y matemáticos islámicos la integraron con el coseno y la tangente, y establecieron la trigonometría como disciplina independiente de la astronomía.
- Europa: Regiomontano sistematizó la trigonometría en el siglo XV, y Euler, en el XVIII, le dio la notación moderna y la vinculó con los números complejos.
La palabra «seno» tiene una historia curiosa: viene del latín sinus («pliegue», «bahía»), que los traductores medievales usaron al verter al latín el término árabe procedente del sánscrito jya.
El triángulo rectángulo
La trigonometría elemental parte del triángulo rectángulo, que es el que tiene un ángulo de 90°. Sus elementos son:
- Hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto; es el más largo.
- Catetos: los dos lados que forman el ángulo recto.
Respecto a un ángulo agudo α, el cateto opuesto es el que está enfrente de α y el cateto adyacente es el que lo forma junto con la hipotenusa. Los lados de un triángulo rectángulo cumplen el teorema de Pitágoras:
donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.
Razones trigonométricas
Dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son semejantes, así que los cocientes entre sus lados no dependen del tamaño del triángulo, solo del ángulo. Esos cocientes son las razones trigonométricas.
| Razón | Abreviatura | Definición | Inversa |
|---|---|---|---|
| Seno | sen α | cateto opuesto ÷ hipotenusa | Cosecante: csc α = 1 / sen α |
| Coseno | cos α | cateto adyacente ÷ hipotenusa | Secante: sec α = 1 / cos α |
| Tangente | tan α | cateto opuesto ÷ cateto adyacente | Cotangente: cot α = 1 / tan α |
Una regla para recordarlas es «SOH-CAH-TOA» (en inglés: sine-opposite-hypotenuse, etc.).
Identidades fundamentales
La segunda identidad se obtiene dividiendo el teorema de Pitágoras entre c². Permite hallar el coseno a partir del seno, y viceversa, para un ángulo agudo: cos α = √(1 − sen² α).
Valores notables
Algunos ángulos tienen razones trigonométricas exactas que conviene memorizar:
| Ángulo | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sen | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | no definida |
La circunferencia goniométrica
Para extender las razones a cualquier ángulo se usa la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas. Si un ángulo α se mide desde el eje horizontal positivo, el punto donde su lado final corta a la circunferencia tiene coordenadas (cos α, sen α). Así, el seno y el coseno pasan a ser funciones definidas para cualquier ángulo, positivo o negativo, y toman valores entre −1 y 1. Son funciones periódicas de periodo 360° (2π radianes), lo que las hace idóneas para describir fenómenos que se repiten, como las ondas, las mareas o la corriente alterna.
¿Cómo se resuelve un triángulo cualquiera?
Cuando el triángulo no es rectángulo se usan dos teoremas generales, donde A, B y C son los ángulos y a, b y c los lados opuestos a cada uno:
El teorema del seno es útil cuando se conocen un lado y dos ángulos, o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. El del coseno, cuando se conocen dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados. Con A = 90° el coseno vale 0 y se recupera el teorema de Pitágoras.
Aplicaciones
Los topógrafos calculan distancias inaccesibles midiendo ángulos desde dos puntos (triangulación). Los navegantes y los sistemas GPS determinan su posición con relaciones trigonométricas. Los astrónomos estiman distancias a estrellas cercanas mediante la paralaje. En ingeniería y física se usa para descomponer fuerzas en componentes, estudiar oscilaciones y analizar señales. Además, es el fundamento de los gráficos por ordenador y de los videojuegos, donde cada giro de un objeto se calcula con senos y cosenos.
Ejercicios resueltos
1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 cm y uno de sus ángulos agudos, 30°. Calcula los catetos.
Cateto opuesto: 10 × sen 30° = 10 × 0,5 = 5 cm. Cateto adyacente: 10 × cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3 ≈ 8,66 cm. Resultado: 5 cm y ≈ 8,66 cm.
2. Desde un punto situado a 20 m de la base de un árbol se ve su copa bajo un ángulo de elevación de 40°. ¿Qué altura tiene el árbol? (Se desprecia la altura de los ojos.)
tan 40° = altura ÷ 20. Con tan 40° ≈ 0,8391: altura ≈ 20 × 0,8391 ≈ 16,78 m. Resultado: ≈ 16,8 m.
3. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. Calcula la hipotenusa, el seno del ángulo opuesto al cateto de 3 cm y la medida de ese ángulo.
Hipotenusa: √(3² + 4²) = √25 = 5 cm. Seno: sen α = 3/5 = 0,6. Ángulo: α = arcsen(0,6) ≈ 36,87°. Resultado: 5 cm; sen α = 0,6; α ≈ 36,87°.
4. En un triángulo, dos lados miden b = 5 y c = 8, y el ángulo que forman es A = 60°. Halla el lado a.
Por el teorema del coseno: a² = 5² + 8² − 2 × 5 × 8 × cos 60° = 25 + 64 − 80 × 0,5 = 89 − 40 = 49. Luego a = √49 = 7. Resultado: a = 7.
Preguntas frecuentes
¿Qué estudia la trigonometría?
¿Cuáles son las razones trigonométricas básicas?
¿Cómo se recuerdan seno, coseno y tangente?
¿Se puede usar la trigonometría en triángulos que no son rectángulos?
¿Para qué sirve la trigonometría en la vida real?
Referencias
- Boyer, C. B.: Historia de la matemática. Alianza Editorial.
- Maor, E.: Trigonometric Delights. Princeton University Press, 1998.
- Baldor, A.: Geometría plana y del espacio y trigonometría. Publicaciones Cultural.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Trigonometría». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/trigonometria/
