Teorema

Un teorema es una afirmación matemática cuya verdad ha sido demostrada mediante un razonamiento lógico a partir de axiomas, definiciones y otros resultados ya probados. Es la unidad básica del conocimiento matemático: a diferencia de una opinión o de una observación, un teorema no se acepta por la cantidad de ejemplos que lo cumplen, sino porque se ha probado que es cierto en todos los casos.

¿Qué es un teorema?

Un teorema es una proposición matemática que se ha demostrado como verdadera dentro de un sistema axiomático. Su enunciado establece que, si se cumplen ciertas condiciones, se sigue necesariamente una conclusión.

La palabra procede del griego theṓrēma, «lo que se contempla» o «objeto de estudio», derivada de theōréō, «observar». Esa raíz es la misma de «teoría». En la tradición de Euclides, los teoremas se construyen sobre un pequeño conjunto de postulados y nociones comunes, y cada uno apoya a los siguientes.

Estructura de un teorema

Casi todos los teoremas pueden escribirse en la forma «si… entonces…» y constan de tres partes:

• Hipótesis: las condiciones de partida que se dan por ciertas.
• Tesis: la conclusión que se afirma como consecuencia de la hipótesis.
• Demostración: la cadena de razonamientos lógicos que lleva de la hipótesis a la tesis.

Por ejemplo, en el enunciado «si un número entero es múltiplo de 6, entonces es par», la hipótesis es «ser múltiplo de 6» y la tesis, «ser par».

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Cómo se demuestra un teorema

Una demostración es un argumento lógico que no deja lugar a la duda. Los métodos más usados son:

• Demostración directa: se parte de la hipótesis y se encadenan deducciones hasta llegar a la tesis.
• Reducción al absurdo (por contradicción): se supone que la tesis es falsa y se llega a una contradicción, lo que prueba que debe ser verdadera.
• Contrarrecíproco: en lugar de probar «si A entonces B», se prueba «si no B entonces no A», que es lógicamente equivalente.
• Inducción matemática: se prueba el caso inicial y que, si se cumple para n, se cumple para n + 1; con ello vale para todos los naturales.
• Contraejemplo: sirve para refutar una afirmación: basta un solo caso que no la cumpla.

Un ejemplo sencillo es la demostración de que la suma de dos números pares es par. Si a = 2m y b = 2n, con m y n enteros, entonces a + b = 2m + 2n = 2(m + n), que es un múltiplo de 2.

Conviene no confundir un teorema con su recíproco. Que «si A entonces B» sea cierto no garantiza que «si B entonces A» lo sea, y cada uno requiere su propia demostración.

Teoremas célebres

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aquí a y b son los catetos y c es la hipotenusa. Una demostración clásica usa áreas: se coloca un cuadrado de lado a + b y en su interior cuatro triángulos rectángulos iguales, de modo que queda un cuadrado de lado c. Igualando áreas: (a + b)² = 4 · (ab/2) + c², es decir, a² + 2ab + b² = 2ab + c², y de ahí a² + b² = c². Su recíproco también es cierto: si los lados de un triángulo cumplen esa igualdad, el triángulo es rectángulo. Ejemplos de ternas pitagóricas son (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

Teorema de Tales

El teorema de Tales afirma que, si dos rectas cualesquiera (transversales) son cortadas por rectas paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los correspondientes en la otra. De él se deduce que una recta paralela a un lado de un triángulo forma otro triángulo semejante al primero, lo que permite calcular alturas y distancias inaccesibles a partir de sombras o proporciones.

Otros teoremas importantes

• Suma de los ángulos de un triángulo: en geometría euclídea, los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.
• Infinitud de los números primos (Euclides): existen infinitos números primos.
• Teorema fundamental de la aritmética: todo entero mayor que 1 se descompone de forma única, salvo el orden, como producto de números primos.
• Último teorema de Fermat: la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene soluciones enteras positivas para n > 2. Fue enunciado por Pierre de Fermat en el siglo XVII y demostrado por Andrew Wiles en 1994-1995.
• Teoremas de incompletitud de Gödel (1931): en cualquier sistema formal consistente que contenga la aritmética hay enunciados que no pueden demostrarse ni refutarse dentro del sistema.

Muchos teoremas se expresan con ayuda de funciones, números y expresiones del lenguaje algebraico, y su estudio desarrolla el pensamiento matemático.

Ejercicios resueltos

Preguntas frecuentes

Referencias

• Euclides: Elementos, Libro I, proposición 47 (teorema de Pitágoras) y Libro VI, proposición 2 (teorema de Tales).
• Courant, R.; Robbins, H.: ¿Qué es la matemática?. Aguilar.
• Singh, S.: El enigma de Fermat. Planeta.