Histograma
El histograma es un gráfico de barras contiguas que representa la distribución de una variable cuantitativa continua agrupada en intervalos.
El histograma es un gráfico de barras contiguas que representa la distribución de una variable cuantitativa continua agrupada en intervalos. Cada barra se levanta sobre un intervalo y su altura (o su área) indica cuántos datos caen en él. Permite ver de un vistazo dónde se concentran los valores, qué dispersión tienen y si la distribución es simétrica o sesgada.
¿Qué es un histograma?
Un histograma es una representación gráfica de una distribución de frecuencias en la que el eje horizontal se divide en intervalos de clase y sobre cada uno se dibuja un rectángulo. A diferencia del diagrama de barras, los rectángulos se dibujan pegados, porque los intervalos son consecutivos y representan valores de una escala continua.
El término fue introducido por el matemático británico Karl Pearson en la década de 1890 y procede del griego histos («tejido, estructura vertical») y gramma («trazo, escritura»).
Elementos de un histograma
- Eje horizontal: muestra los intervalos de clase de la variable.
- Eje vertical: muestra la frecuencia (absoluta o relativa) o la densidad de frecuencia.
- Barras: una por intervalo, sin separación entre ellas.
- Límites de clase: extremos inferior y superior de cada intervalo.
- Marca de clase: punto medio del intervalo, que se usa como valor representativo.
- Amplitud: diferencia entre el límite superior y el inferior.
¿Cómo se construye un histograma?
- Calcula el rango: R = valor máximo − valor mínimo.
- Elige el número de intervalos k. Una regla habitual es la de Sturges, que da k = 1 + log₂ n; otra, la de la raíz, k ≈ √n.
- Calcula la amplitud: a = R / k, redondeando hacia arriba a un número cómodo.
- Define los intervalos sin solapamientos, normalmente cerrados por un lado y abiertos por el otro, como [10, 16).
- Cuenta los datos de cada intervalo y construye la tabla de frecuencias.
- Dibuja las barras con la base igual a la amplitud y la altura según la frecuencia.
Intervalos de distinta amplitud
Cuando los intervalos no tienen la misma amplitud, la altura no puede ser la frecuencia directamente, porque las barras más anchas parecerían contener más datos solo por su anchura. Se usa entonces la densidad de frecuencia, de modo que el área de cada barra sea proporcional a la frecuencia:
Ejemplo: tabla de frecuencias y su histograma
Se mide el tiempo, en minutos, que 40 clientes tardan en ser atendidos y se agrupa en cinco intervalos de amplitud 10.
| Intervalo | Marca de clase | Frecuencia absoluta | Frecuencia relativa | Frecuencia acumulada |
|---|---|---|---|---|
| [0, 10) | 5 | 4 | 0,10 | 4 |
| [10, 20) | 15 | 8 | 0,20 | 12 |
| [20, 30) | 25 | 12 | 0,30 | 24 |
| [30, 40) | 35 | 10 | 0,25 | 34 |
| [40, 50) | 45 | 6 | 0,15 | 40 |
El histograma tendría cinco barras contiguas de alturas 4, 8, 12, 10 y 6. La barra más alta es la del intervalo [20, 30), que es la clase modal. Las frecuencias relativas, expresadas como porcentaje, también pueden ponerse en el eje vertical. Uniendo los puntos medios de las barras se obtiene el polígono de frecuencias.
Cómo interpretar un histograma
- Simétrico: los datos se reparten por igual a ambos lados del centro, con forma de campana si es una distribución normal.
- Asimétrico a la derecha (sesgo positivo): cola larga hacia valores altos, como ocurre con los ingresos.
- Asimétrico a la izquierda (sesgo negativo): cola larga hacia valores bajos.
- Bimodal: dos picos, que suelen indicar la mezcla de dos grupos distintos.
- Uniforme: barras de altura parecida, sin valor dominante.
La forma depende del número de intervalos: pocos esconden detalles y demasiados generan un perfil irregular. Conviene probar varias anchuras antes de sacar conclusiones.
Histograma, diagrama de barras y polígono de frecuencias
| Característica | Histograma | Diagrama de barras | Polígono de frecuencias |
|---|---|---|---|
| Tipo de variable | Cuantitativa continua (o discreta con muchos valores) | Cualitativa o discreta | Cuantitativa, en intervalos |
| Barras | Pegadas | Separadas | No tiene; usa una línea |
| Qué muestra | Distribución por intervalos | Frecuencia por categoría | Tendencia de la distribución |
Ejercicios resueltos
1. Se tienen 64 datos con mínimo 12 y máximo 52. Usa la regla de Sturges para decidir el número y la amplitud de los intervalos.
Rango: 52 − 12 = 40. Número de intervalos: k = 1 + log₂ 64 = 1 + 6 = 7. Amplitud: 40 / 7 ≈ 5,71, que se redondea a 6 (7 × 6 = 42 ≥ 40, así que cubre todos los datos). Resultado: 7 intervalos de amplitud 6.
2. Con la tabla del ejemplo, calcula la media aproximada usando las marcas de clase.
Σ fᵢ·xᵢ = 4·5 + 8·15 + 12·25 + 10·35 + 6·45 = 20 + 120 + 300 + 350 + 270 = 1060. Es en realidad un promedio ponderado con las frecuencias como pesos. Media ≈ 1060 / 40 = 26,5 minutos.
3. Una variable se agrupa así: [0, 10) con 20 datos, [10, 20) con 30, [20, 40) con 40 y [40, 60) con 20. Calcula la altura de cada barra del histograma.
Como la amplitud no es constante, se usa la densidad: 20/10 = 2; 30/10 = 3; 40/20 = 2; 20/20 = 1. Resultado: alturas 2, 3, 2 y 1. Se comprueba que el área de la tercera barra es 2 × 20 = 40, igual a su frecuencia.
4. En la tabla del ejemplo, ¿qué porcentaje de clientes espera menos de 30 minutos?
La frecuencia acumulada hasta el intervalo [20, 30) es 24, sobre un total de 40: 24 / 40 = 0,60. Resultado: el 60 % de los clientes.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre un histograma y un diagrama de barras?
¿Cuántos intervalos debe tener un histograma?
¿Qué se pone en el eje vertical?
¿Por qué las barras de un histograma están unidas?
¿Qué relación tiene el histograma con el polígono de frecuencias?
Referencias
- Pearson, K. «Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material», Philosophical Transactions of the Royal Society A, 1895.
- Moore, D. S., McCabe, G. P. y Craig, B. A. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman.
- Spiegel, M. R. y Stephens, L. J. Estadística (Colección Schaum). McGraw-Hill.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2024). «Histograma». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/histograma/
