Números primos: qué son, lista y criba de Eratóstenes

Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. Los primos son los «átomos» de la aritmética, porque todo número natural mayor que 1 se puede escribir de forma única como producto de primos. Los más pequeños son 2, 3, 5, 7, 11 y 13, y existen infinitos.

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural p > 1 cuyos únicos divisores positivos son 1 y p. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman compuestos, porque se pueden descomponer en factores menores. El número 1 no es primo ni compuesto, ya que tiene un solo divisor.

p es primo ⟺ p > 1 y sus únicos divisores son 1 y p

La palabra «primo» viene del latín primus, «primero»: son los números primeros a partir de los cuales se construyen los demás mediante multiplicación. Forman parte del conjunto de los números naturales.

Primeros números primos

Hay 25 primos menores que 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Intervalo	Primos	Cantidad
1 – 10	2, 3, 5, 7	4
11 – 20	11, 13, 17, 19	4
21 – 30	23, 29	2
31 – 40	31, 37	2
41 – 50	41, 43, 47	3
51 – 60	53, 59	2
61 – 70	61, 67	2
71 – 80	71, 73, 79	3
81 – 90	83, 89	2
91 – 100	97	1

Características

El 2 es el único primo par; todos los demás primos son impares.
Todo primo mayor que 3 es de la forma 6k ± 1 (aunque no todos los números de esa forma son primos).
Dos números primos distintos son siempre coprimos: su máximo común divisor es 1.
Si un primo divide a un producto a · b, divide a a o a b (lema de Euclides).
Los primos se hacen más escasos al avanzar: π(x), la cantidad de primos menores o iguales que x, crece aproximadamente como x / ln x (teorema de los números primos). Por ejemplo, π(100) = 25.

Cómo saber si un número es primo

Para comprobar si n es primo basta con probar la división entre los primos menores o iguales que √n. Si ninguno lo divide, n es primo. Por qué: si n = a · b con a ≤ b, entonces a ≤ √n, de modo que, si n es compuesto, tiene algún divisor no mayor que su raíz cuadrada.

Criba de Eratóstenes

Es un método clásico, atribuido al matemático griego Eratóstenes de Cirene (siglo III a. C.), para obtener todos los primos hasta un límite N:

Escribe los números de 2 a N.
Marca el 2 como primo y tacha todos sus múltiplos (4, 6, 8…).
El primer número sin tachar es 3: márcalo como primo y tacha sus múltiplos.
Repite con el siguiente número sin tachar. Basta con llegar hasta √N.
Los números que quedan sin tachar son los primos.

Para N = 100 basta tachar los múltiplos de 2, 3, 5 y 7, pues el siguiente primo, 11, ya supera √100 = 10.

Teorema fundamental de la aritmética

Todo número natural mayor que 1 es primo o se puede escribir de manera única (salvo el orden) como producto de números primos. Esta propiedad, enunciada en los Elementos de Euclides y demostrada de forma completa por Gauss, es la razón de que los primos sean tan importantes.

n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · pₖ^aₖ

Por ejemplo, 360 = 2³ · 3² · 5. Esta descomposición permite calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números y contar sus divisores.

Infinitud de los primos

Euclides demostró hacia el 300 a. C. que hay infinitos números primos. La idea es esta: supón que solo hubiera una lista finita p₁, p₂, …, pₙ. El número N = p₁ · p₂ · … · pₙ + 1 no es divisible por ninguno de ellos (deja resto 1). Entonces N es primo o tiene un factor primo que no está en la lista, lo cual contradice la hipótesis.

Tipos especiales de primos

Primos gemelos: pares de primos que difieren en 2, como (3, 5), (11, 13) o (17, 19). Se desconoce si hay infinitos.
Primos de Mersenne: de la forma 2ᵖ − 1 con p primo: 3, 7, 31, 127… No todos los 2ᵖ − 1 son primos: 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 · 89. Los mayores primos conocidos son de este tipo y se descubren en proyectos de cálculo distribuido.
Primos de Sophie Germain: primos p tales que 2p + 1 también es primo, como 2, 3, 5, 11.

Aplicaciones y problemas abiertos

La seguridad de las comunicaciones por internet se apoya en que multiplicar dos primos enormes es fácil, pero factorizar el producto es extremadamente costoso. El sistema criptográfico RSA se basa en esta asimetría. Entre los problemas abiertos más famosos están la conjetura de Goldbach (todo par mayor que 2 es suma de dos primos) y la de los primos gemelos.

Los primos también se relacionan con la clasificación general de los números: forman un subconjunto de los naturales y de los enteros positivos.

Ejercicios resueltos

★ Practica paso a paso

1. ¿Es primo el número 91?

√91 ≈ 9,5, así que basta probar con 2, 3, 5 y 7. No es divisible por 2, 3 ni 5, pero 91 = 7 · 13. Por tanto, 91 no es primo (es compuesto).

2. ¿Es primo el número 97?

√97 ≈ 9,8. No es divisible por 2, 3, 5 ni 7 (97 ÷ 7 ≈ 13,86). Por tanto, 97 es primo.

3. Descompón 360 en factores primos.

360 ÷ 2 = 180; ÷ 2 = 90; ÷ 2 = 45; ÷ 3 = 15; ÷ 3 = 5; ÷ 5 = 1. Resultado: 360 = 2³ · 3² · 5.

4. ¿Cuántos divisores tiene 360?

Con 360 = 2³ · 3² · 5, se suma 1 a cada exponente y se multiplica: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 · 3 · 2 = 24 divisores.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el 1 no es un número primo?

Porque solo tiene un divisor, él mismo. Además, si el 1 fuese primo, el teorema fundamental de la aritmética dejaría de cumplirse, ya que la descomposición en primos no sería única (6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3).

¿Por qué el 2 es el único primo par?

Porque todo número par mayor que 2 es divisible por 2 y, por tanto, tiene al menos tres divisores: 1, 2 y él mismo.

¿Cuál es el mayor número primo conocido?

Es un primo de Mersenne con decenas de millones de cifras, hallado con ordenadores. Como siempre se pueden encontrar más (hay infinitos), el récord cambia cada cierto tiempo.

¿Cuántos números primos hay?

Infinitos, como demostró Euclides. Entre 1 y 100 hay 25.

¿Los números primos tienen alguna utilidad práctica?

Sí. Se emplean en criptografía (RSA), en funciones hash, en generadores de números pseudoaleatorios y en la corrección de errores.

Referencias

Euclides. Elementos, libros VII y IX. Editorial Gredos.
Gauss, C. F. Disquisitiones Arithmeticae (1801).
Hardy, G. H. y Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press.

Cómo citar este artículo

Equipo de Conceptualia. (2025). «Números primos». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/numeros-primos/

Sobre el autor

Conceptualia — El equipo editorial de Conceptualia redacta y revisa cada concepto para que sea claro, riguroso y útil, con ejemplos y ejercicios cuando ayudan a entenderlo.