Sistema de numeración
Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que permite representar y nombrar los números.
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permite representar y nombrar los números. Según esas reglas, unos sistemas son aditivos (como el romano) y otros posicionales (como el decimal o el binario), en los que el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa. El que usamos a diario es el sistema decimal, de base 10, y el que utilizan los ordenadores es el binario, de base 2.
¿Qué es un sistema de numeración?
Un sistema de numeración es el conjunto de signos (cifras) y de normas que se usan para escribir y leer los números. No hay que confundirlo con los números mismos: la cantidad «veintitrés» es una sola, pero se puede escribir como 23, XXIII, 10111 (en binario) o 17 (en hexadecimal).
Todo sistema se define por tres elementos: los símbolos que emplea, la base o número de símbolos distintos que agrupa antes de pasar a un orden superior, y las reglas de combinación. Los sistemas posicionales permiten representar cualquier número natural con un número finito de cifras.
Tipos de sistemas de numeración
Sistemas aditivos (no posicionales)
Cada símbolo tiene un valor fijo y el número se obtiene sumando los valores de todos los símbolos. El sistema egipcio, con jeroglíficos para 1, 10, 100, 1000…, y el sistema de numeración romano son ejemplos. Aunque el romano usa también la resta (IV = 4), el valor de cada letra no depende de su posición. Su inconveniente es que calcular con ellos es muy trabajoso y requieren cada vez más símbolos para cantidades grandes.
Sistemas posicionales
El valor de cada cifra depende de la posición que ocupa: la misma cifra vale distinto según el lugar. En el número 222, el primer 2 vale 200, el segundo 20 y el tercero 2. Esto permite escribir cualquier número con pocos símbolos y facilita el cálculo.
donde b es la base y dᵢ son las cifras. Por ejemplo, 4 052 = 4·10³ + 0·10² + 5·10 + 2.
Principales sistemas posicionales
| Sistema | Base | Símbolos | Uso |
|---|---|---|---|
| Decimal | 10 | 0 – 9 | Vida cotidiana, ciencia, comercio |
| Binario | 2 | 0, 1 | Electrónica digital e informática |
| Octal | 8 | 0 – 7 | Permisos de archivos en sistemas Unix |
| Hexadecimal | 16 | 0 – 9, A – F | Colores web, direcciones de memoria |
| Sexagesimal | 60 | — | Horas, minutos, segundos y grados |
| Vigesimal | 20 | — | Numeración maya y otras culturas |
Sistema decimal
El sistema decimal es el sistema posicional de base 10, que usa las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Se cree que su base procede de contar con los diez dedos de las manos. Nuestro sistema es el indoarábigo: se gestó en la India, fue difundido por los matemáticos árabes (como Al-Juarismi, en el siglo IX) y llegó a Europa gracias, entre otros, al Liber Abaci de Fibonacci (1202). Su gran aportación es el cero como cifra posicional.
Sistema binario
El sistema binario usa solo las cifras 0 y 1, que corresponden a los dos estados de un circuito electrónico (apagado y encendido). Gottfried Leibniz lo describió en 1703. Cada cifra se llama bit, y un grupo de ocho bits forma un byte.
Sistemas octal y hexadecimal
Son abreviaturas cómodas del binario: una cifra octal equivale a tres bits y una cifra hexadecimal equivale a cuatro. Por eso en informática se usa tanto el hexadecimal, donde las letras A, B, C, D, E y F representan los valores 10, 11, 12, 13, 14 y 15.
Otros sistemas históricos
Los babilonios emplearon un sistema posicional de base 60, cuya huella perdura en la división de la hora en 60 minutos y del círculo en 360 grados. Los mayas utilizaron un sistema vigesimal con símbolo para el cero. En cambio, los sistemas egipcio y romano eran aditivos.
Equivalencias entre sistemas
| Decimal | Binario | Octal | Hexadecimal |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Cambio de base
De otra base a decimal
Se multiplica cada cifra por la potencia de la base correspondiente a su posición y se suman los resultados. Ejemplo: 1011₂ = 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 11.
De decimal a otra base
Se divide el número entre la base de forma sucesiva y se anotan los restos; el número buscado se lee con los restos en orden inverso, desde el último hasta el primero.
Ejercicios resueltos
1. Convierte 1101₂ a decimal.
1·2³ + 1·2² + 0·2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
2. Convierte 29 a binario.
29 ÷ 2 = 14 resto 1; 14 ÷ 2 = 7 resto 0; 7 ÷ 2 = 3 resto 1; 3 ÷ 2 = 1 resto 1; 1 ÷ 2 = 0 resto 1. Leyendo los restos de abajo arriba: 11101₂. Comprobación: 16 + 8 + 4 + 1 = 29.
3. Convierte A3₁₆ a decimal.
A vale 10, así que A3₁₆ = 10·16 + 3 = 160 + 3 = 163.
4. Expresa 4 052 como suma de potencias de 10.
4 052 = 4·10³ + 0·10² + 5·10¹ + 2·10⁰ = 4000 + 50 + 2.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre un sistema posicional y uno no posicional?
¿Por qué usamos base 10?
¿Por qué los ordenadores usan el sistema binario?
¿Cómo se sabe en qué base está escrito un número?
¿Por qué el cero es tan importante en la numeración?
Referencias
- Ifrah, G. Historia universal de las cifras. Espasa Calpe.
- Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, vol. 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley.
- Boyer, C. B. Historia de la matemática. Alianza Editorial.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Sistema de numeración». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/sistema-de-numeracion/
