Números naturales

Los números naturales son los que usamos para contar: 1, 2, 3, 4… Constituyen el conjunto más antiguo e intuitivo de la matemática y se representan con la letra ℕ. Según la convención, el cero se incluye o no entre ellos, y a partir de ellos se construyen los números enteros y el resto de conjuntos numéricos.

¿Qué son los números naturales?

Los números naturales son los números enteros no negativos que se emplean para contar elementos y para ordenarlos. Forman el conjunto infinito ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}, o bien ℕ = {1, 2, 3, 4, …} si se excluye el cero.

Se llaman «naturales» porque surgen de manera espontánea al contar objetos de la naturaleza. Al matemático alemán Leopold Kronecker se le atribuye una frase que resume esta idea: «Dios hizo los números naturales; todo lo demás es obra del hombre». Es un conjunto con primer elemento (0 o 1) y en el que cada número tiene un único siguiente, de modo que no tiene último elemento.

¿Incluye el cero?

Depende de la convención. La teoría de conjuntos, la lógica, la informática y la norma ISO 80000-2 incluyen el cero en ℕ. Muchos textos escolares y de teoría de números empiezan en 1. Para evitar confusiones se suele escribir ℕ* o ℕ⁺ para los naturales sin el cero. Este artículo trata ambos casos.

Características de los números naturales

• Infinitud: no existe un natural mayor que todos los demás, porque a cada n le sigue n + 1.
• Sucesor y antecesor: el sucesor de n es n + 1; todo natural, salvo el primero, tiene antecesor.
• Orden total: dados dos naturales distintos, uno es menor que el otro.
• Buena ordenación: todo subconjunto no vacío de ℕ tiene un elemento mínimo.
• Discretos: entre dos naturales consecutivos no hay ningún otro natural.

Propiedades de las operaciones

La resta y la división no son operaciones cerradas en ℕ: 3 − 5 no es un natural y 7 ÷ 2 tampoco. Esta limitación motiva la creación de los enteros y los racionales. En la clasificación general de los números se ve cómo encajan.

Los axiomas de Peano

A finales del siglo XIX, Giuseppe Peano formalizó los naturales a partir de unos pocos axiomas. En una versión habitual:

1. El 0 es un número natural.
2. Todo natural n tiene un único sucesor, que se escribe S(n) o n + 1.
3. El 0 no es sucesor de ningún natural.
4. Naturales distintos tienen sucesores distintos.
5. Principio de inducción: si un conjunto contiene al 0 y contiene al sucesor de cada uno de sus elementos, entonces contiene a todos los naturales.

El último axioma justifica el método de demostración por inducción, que prueba una propiedad para todos los naturales comprobándola en el primero y mostrando que, si se cumple para n, se cumple para n + 1.

Usos de los números naturales

• Contar (cardinales): hay 28 alumnos en clase.
• Ordenar (ordinales): llegó en tercer lugar.
• Identificar: números de teléfono, portales y códigos postales.
• Escribir cantidades: mediante un sistema de numeración, como el decimal.

Dentro de los naturales se distinguen pares (0, 2, 4…), impares (1, 3, 5…), cuadrados perfectos (1, 4, 9…), múltiplos y divisores, y los números primos.

Ejercicios resueltos

Preguntas frecuentes

Referencias

• Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita (1889).
• Dedekind, R. ¿Qué son y para qué sirven los números? (1888).
• Ifrah, G. Historia universal de las cifras. Espasa Calpe.