Números enteros

Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales (1, 2, 3…), sus opuestos negativos (−1, −2, −3…) y el cero. Se representan con la letra ℤ y sirven para expresar cantidades por encima y por debajo de una referencia, como una temperatura bajo cero, una deuda o un sótano. Con ellos la resta siempre tiene resultado.

Son el primer paso más allá de contar. Con los números naturales no se puede calcular 3 − 5; con los enteros, sí: el resultado es −2. A partir de aquí verás cómo se ordenan, cómo se opera con ellos sin liarse con los signos y qué errores conviene evitar, con ejemplos resueltos paso a paso.

Qué son los números enteros

El conjunto de los enteros se escribe así:

Tiene tres partes:

• Enteros positivos: 1, 2, 3… Se pueden escribir con signo (+5) o sin él (5).
• Enteros negativos: −1, −2, −3… Llevan siempre el signo menos delante.
• El cero: no es positivo ni negativo. Separa unos de otros.

La letra ℤ procede del alemán Zahlen, «números». El adjetivo «entero» viene del latín integer, «intacto, completo»: son números sin parte decimal ni fraccionaria. Los enteros contienen a los naturales y están contenidos, a su vez, en los racionales y en los reales: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. El encaje de todos estos conjuntos se explica en el artículo sobre los números.

Para qué sirven: ejemplos de la vida real

Los enteros aparecen cada vez que hay un punto de referencia (el cero) y se puede estar por encima o por debajo de él:

• Temperaturas: en un invierno frío de Burgos se pueden registrar −5 °C de madrugada y 8 °C a mediodía. La estación soviética de Vostok, en la Antártida, registró −89,2 °C en 1983.
• Altitudes: el nivel del mar es el cero. El Teide supera los 3700 m y la orilla del mar Muerto está a más de 400 m por debajo del nivel del mar. En Argentina, la laguna del Carbón, en la Patagonia, se encuentra a unos −105 m.
• Dinero: si en tu cuenta hay 50 € y pagas un recibo de 80 €, el saldo queda en −30 €, es decir, una deuda de 30 €.
• Edificios: la planta baja es el 0, los sótanos son −1, −2… y los pisos, 1, 2, 3.
• Deporte: en la clasificación de LaLiga, un equipo con 30 goles a favor y 41 en contra tiene una diferencia de goles de −11. En golf, terminar «a −3» significa tres golpes por debajo del par.
• Historia: los años antes de Cristo funcionan como negativos, con un matiz: no existe el año 0, porque al 1 a. C. le sigue directamente el 1 d. C.

La recta numérica y el orden

Los enteros se colocan en una recta con el cero en el centro, los positivos a la derecha y los negativos a la izquierda, separados siempre la misma distancia. La regla para compararlos es una sola: de dos enteros, es mayor el que está más a la derecha.

De ahí salen tres consecuencias que conviene tener claras:

• Cualquier positivo es mayor que cero, y cero es mayor que cualquier negativo.
• Entre dos positivos, es mayor el de mayor valor absoluto: 7 > 3.
• Entre dos negativos, es mayor el de menor valor absoluto: −3 > −7. Tiene sentido: −3 °C es menos frío que −7 °C.

Para escribir estas comparaciones se usan los signos mayor y menor que: −12 < −5 < 0 < 3. La recta numérica es también la base de los ejes del plano cartesiano, donde cada eje es una recta de enteros (y de reales) que se cruza con la otra en el cero.

Valor absoluto y opuesto

El valor absoluto de un entero es su distancia al cero, sin tener en cuenta el signo. Se escribe entre barras: |−7| = 7 y |7| = 7. Nunca es negativo.

El opuesto de un número es el que está a la misma distancia del cero, pero al otro lado. El opuesto de 4 es −4 y el de −9 es 9. Un número y su opuesto suman siempre cero: a + (−a) = 0. Ojo: «−a» no significa «un número negativo», sino «el opuesto de a». Si a = −6, entonces −a = 6.

Suma y resta de números enteros

Suma

• Mismo signo: se suman los valores absolutos y se deja el signo común. (+4) + (+6) = +10; (−3) + (−4) = −7.
• Distinto signo: se restan los valores absolutos (el mayor menos el menor) y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. (−9) + 5 = −4; 12 + (−5) = 7.

Si los signos te confunden, piensa en dinero: los positivos son lo que ganas y los negativos, lo que debes. Deber 9 y ganar 5 te deja debiendo 4.

Resta

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto: a − b = a + (−b). Así, toda resta se convierte en una suma:

• 7 − 10 = 7 + (−10) = −3
• −4 − 6 = −4 + (−6) = −10
• 5 − (−8) = 5 + 8 = 13

Paréntesis precedidos de un signo

Cuando un paréntesis lleva delante un signo más, se quita sin cambiar nada. Cuando lleva un signo menos, se quita cambiando el signo de todo lo que hay dentro: −(3 − 7 + 2) = −3 + 7 − 2 = 2.

Multiplicación y división: la regla de los signos

Se multiplican o dividen los valores absolutos y el signo del resultado se decide así:

Dicho en corto: signos iguales dan positivo y signos distintos dan negativo. Cuando hay varios factores, basta contar los negativos: si son un número par, el resultado es positivo; si son impar, negativo. Por ejemplo, (−1) · (−2) · (−3) = −6, porque hay tres factores negativos.

La división de dos enteros no siempre da un entero: 7 ÷ 2 = 3,5. Cuando el cociente es entero, la división es exacta. Y dividir entre cero no está definido, ni con positivos ni con negativos.

Potencias de base negativa

Una potencia es una multiplicación repetida, así que sigue la regla de los signos:

• Base negativa y exponente par: resultado positivo. (−2)⁴ = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16.
• Base negativa y exponente impar: resultado negativo. (−2)³ = −8.

Los paréntesis cambian el resultado. En (−3)² la base es −3, y da 9. En −3² la base es solo el 3, y el signo menos se aplica después: −3² = −(3²) = −9. Es uno de los errores más repetidos en los exámenes; la mayoría de las calculadoras científicas siguen esta misma convención.

Ejemplo completo: jerarquía de operaciones

El orden es siempre el mismo: primero paréntesis y corchetes (de dentro hacia fuera), después potencias y valores absolutos, luego multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y, por último, sumas y restas. Resolvamos:

1. Paréntesis: 4 − 7 = −3. Queda −3 · (−3) + (−2)³ ÷ 4 − |−5|.
2. Potencias y valor absoluto: (−2)³ = −8 y |−5| = 5. Queda −3 · (−3) + (−8) ÷ 4 − 5.
3. Multiplicaciones y divisiones: −3 · (−3) = 9 y (−8) ÷ 4 = −2. Queda 9 + (−2) − 5.
4. Sumas y restas: 9 − 2 − 5 = 2.

Un truco para no perderse: copia en cada línea todo lo que aún no has resuelto y cambia solo una cosa cada vez.

Propiedades de los números enteros

La resta y la división no son conmutativas: 3 − 5 = −2, pero 5 − 3 = 2. Y, salvo el 1 y el −1, ningún entero tiene inverso para la multiplicación dentro de ℤ: no hay ningún entero que multiplicado por 3 dé 1. Esa carencia la resuelven los números racionales. En lenguaje algebraico se dice que (ℤ, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.

Divisibilidad con números enteros

Un entero a es divisor de b si existe un entero k tal que b = a · k; entonces b es múltiplo de a. Los divisores también pueden ser negativos: −3 divide a 12 porque 12 = (−3) · (−4). Un entero mayor que 1 cuyos únicos divisores positivos son 1 y él mismo es un número primo.

Comparación con otros conjuntos numéricos

Según el libro de texto, el cero se incluye o no entre los naturales; en cualquier caso, siempre es un número entero.

Errores frecuentes con los enteros

Ejercicios resueltos

Preguntas frecuentes

Referencias

• Baldor, A. Aritmética. Publicaciones Cultural.
• Courant, R. y Robbins, H. ¿Qué es la matemática? Fondo de Cultura Económica.
• Birkhoff, G. y Mac Lane, S. Álgebra moderna. Vicens-Vives.
• Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria Obligatoria. Boletín Oficial del Estado.
• Real Academia Española. Diccionario de la lengua española, entrada «entero».