Signos mayor y menor que

Los signos mayor que (>) y menor que (<) son los símbolos matemáticos que sirven para comparar dos cantidades e indicar cuál de ellas es más grande. Así, 7 > 3 se lee «siete es mayor que tres» y 3 < 7, «tres es menor que siete». Junto con sus variantes ≥ y ≤, son la base de las desigualdades y las inecuaciones, y también se usan a diario en programación, hojas de cálculo y otras disciplinas.

¿Qué son los signos mayor y menor que?

Son signos de relación u orden: no indican una operación, como la suma o la resta, sino una comparación entre dos expresiones. Colocados entre dos números, afirman que el primero es mayor (>) o menor (<) que el segundo. Una expresión de este tipo se llama desigualdad, por oposición a la igualdad, que usa el signo =.

Su forma es la de un ángulo: la parte abierta queda siempre del lado de la cantidad mayor y el vértice apunta hacia la menor. Los introdujo el matemático inglés Thomas Harriot en una obra publicada de forma póstuma en 1631, Artis analyticae praxis, y con el tiempo se convirtieron en notación universal del lenguaje matemático.

Características

• Son relaciones de orden: comparan elementos que pueden ordenarse, como los números reales. No se usan, por ejemplo, para comparar números complejos.
• Son estrictos: a > b excluye que a y b sean iguales. Por eso 5 > 5 es falso.
• Son inversos entre sí: a > b significa lo mismo que b < a. Basta con leer la expresión al revés.
• Son transitivos: si a > b y b > c, entonces a > c.
• Cumplen la tricotomía: dados dos números reales, solo se da uno de estos tres casos: a < b, a = b o a > b.

Cómo leerlos y cómo recordarlos

Hay varios trucos para no confundirlos:

• La boca abierta: el signo es como una boca que siempre se «come» al número más grande. En 12 > 8, la abertura mira hacia el 12.
• El lado abierto y el lado cerrado: el lado ancho corresponde al número grande y la punta, al pequeño.
• Leer de izquierda a derecha: lo que se lee es el nombre del signo tal como aparece al leer desde el primer número. En 2 < 6 se encuentra primero el lado estrecho: «dos es menor que seis».

Los signos ≥ y ≤

Los signos mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤) amplían la comparación: además de la desigualdad, admiten la igualdad. Por eso 5 ≥ 5 es verdadero, mientras que 5 > 5 es falso. Se llaman desigualdades no estrictas o amplias.

Son muy útiles para expresar límites con lenguaje preciso: «hay que tener 18 años o más» se escribe edad ≥ 18; «como máximo 40 alumnos por aula», alumnos ≤ 40. En matemáticas también existen ≫ y ≪, que significan «mucho mayor que» y «mucho menor que» y se usan en física e ingeniería para aproximaciones.

Comparar distintos tipos de números

Números enteros

Entre dos números positivos, es mayor el que está más lejos del cero. Con negativos ocurre lo contrario: −8 < −3, porque −8 está más a la izquierda en la recta numérica. Cualquier número negativo es menor que cero, y cualquier positivo, mayor. Más detalles en los números enteros.

Decimales

Se comparan cifra a cifra desde la izquierda: 2,35 < 2,4, porque en las décimas 3 < 4. Que 2,35 tenga más cifras no lo hace mayor.

Fracciones

Con el mismo denominador, es mayor la de numerador mayor: 5/9 > 2/9. Con denominadores distintos, se reducen a común denominador o se multiplican en cruz: para comparar 3/4 y 5/7 se calcula 3 · 7 = 21 y 4 · 5 = 20; como 21 > 20, resulta 3/4 > 5/7.

Desigualdades e inecuaciones

Cuando una desigualdad contiene una o varias incógnitas, se llama inecuación. Resolverla consiste en hallar todos los valores de la variable que la hacen verdadera. A diferencia de una ecuación, la solución no suele ser un número, sino un conjunto de números, que se expresa como intervalo.

Las reglas para resolverlas son casi las mismas que en las ecuaciones:

• Se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros sin que cambie el sentido de la desigualdad.
• Se puede multiplicar o dividir por un número positivo sin que cambie el sentido.
• Si se multiplica o divide por un número negativo, el sentido se invierte: de 2 < 5 se pasa a −2 > −5.

Ejemplo: para resolver 3x − 4 > 11 se suma 4 a ambos lados (3x > 15) y se divide entre 3 (x > 5). La solución es el intervalo (5, +∞): todos los números mayores que 5, sin incluir el 5. Si la inecuación fuese 3x − 4 ≥ 11, el 5 sí estaría incluido y el intervalo se escribiría [5, +∞).

También existen las desigualdades dobles, que acotan un valor por los dos lados: −1 < x ≤ 4 describe los números mayores que −1 y menores o iguales que 4, es decir, el intervalo (−1, 4]. Plantear estos problemas a partir de un enunciado es parte del lenguaje algebraico.

Usos fuera de las matemáticas

En informática

• Operadores de comparación: en la mayoría de los lenguajes de programación, como Python, Java o JavaScript, se escriben >, <, >= y <=, porque los teclados no tienen ≥ ni ≤. Por ejemplo, if edad >= 18: comprueba si alguien es mayor de edad.
• Hojas de cálculo: fórmulas como =SI(A2>=5;"Aprobado";"Suspenso") usan los mismos operadores. El separador de argumentos, punto y coma o coma, depende de la configuración regional.
• Lenguajes de marcado: en HTML, los signos < y > delimitan las etiquetas, como <p>. Para mostrarlos como texto hay que escribir las entidades < y >.
• Línea de comandos: en muchas terminales, > redirige la salida de un programa a un archivo y < toma la entrada desde un archivo.

En lingüística

En gramática histórica, > significa «evoluciona a» y < «procede de»: lat. filium > esp. hijo; hijo < lat. filium.

Un error tipográfico frecuente

Los signos << y >> no deben usarse en lugar de las comillas angulares o latinas (« »), que son caracteres distintos.

Ejercicios resueltos

Importancia

Los signos de mayor y menor permiten expresar con precisión ideas cotidianas como «como mínimo», «a partir de», «no más de» o «entre», que aparecen en normas, presupuestos, recetas o reglamentos. En matemáticas son la puerta de entrada a las inecuaciones, el estudio de funciones, la optimización y el análisis. En informática, cualquier programa que toma decisiones (un semáforo inteligente, un filtro de búsqueda, un sistema de notas) depende de comparaciones de este tipo. Dominar su lectura y sus reglas, sobre todo la inversión del sentido al multiplicar por negativos, evita errores muy frecuentes en los exámenes.

Preguntas frecuentes

Referencias

• Cajori, F. A History of Mathematical Notations. Open Court, 1928-1929.
• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. Precálculo: matemáticas para el cálculo. Cengage Learning.
• Spivak, M. Calculus. Reverté.