Valor absoluto
El valor absoluto de un número real es su distancia al cero en la recta numérica, es decir, su magnitud sin signo: |−5| = |5| = 5.
El valor absoluto de un número real es su magnitud sin tener en cuenta el signo, o lo que es lo mismo, la distancia que lo separa del cero en la recta numérica. Se escribe entre dos barras verticales, |x|, de modo que |5| = 5 y |−5| = 5. Es una herramienta básica en aritmética, álgebra y análisis, y aparece en problemas de distancias, errores de medida y tolerancias.
¿Qué es el valor absoluto?
Para cualquier número real x, el valor absoluto se define por casos:
|x| = x si x ≥ 0 y |x| = −x si x < 0.
La segunda línea suele confundir: si x es negativo, −x es positivo. Por ejemplo, si x = −9, entonces |x| = −(−9) = 9. El resultado nunca es negativo.
Geométricamente, |x| es la distancia entre el punto x y el origen en la recta numérica. Como una distancia no puede ser negativa, tampoco puede serlo el valor absoluto. Una definición equivalente muy útil es |x| = √(x²), ya que la raíz cuadrada principal siempre es no negativa.
La notación con barras verticales se atribuye a Karl Weierstrass, que la empleó en 1841. En los números enteros el valor absoluto permite comparar negativos y explicar las reglas de la suma con signos distintos.
Propiedades del valor absoluto
| Propiedad | Expresión | Ejemplo |
|---|---|---|
| No negatividad | |a| ≥ 0 | |−3| = 3 ≥ 0 |
| Solo el cero tiene valor absoluto cero | |a| = 0 ⇔ a = 0 | |0| = 0 |
| Simetría | |−a| = |a| | |−8| = |8| = 8 |
| Producto | |a · b| = |a| · |b| | |(−2) · 6| = 12 = 2 · 6 |
| Cociente | |a / b| = |a| / |b|, con b ≠ 0 | |−15 / 3| = 5 = 15 / 3 |
| Potencia par | |a|² = a² | |−4|² = 16 = (−4)² |
| Desigualdad triangular | |a + b| ≤ |a| + |b| | |7 + (−3)| = 4 ≤ 7 + 3 = 10 |
| Desigualdad triangular inversa | ||a| − |b|| ≤ |a − b| | ||9| − |−2|| = 7 ≤ |9 − (−2)| = 11 |
Atención: el valor absoluto no se reparte en sumas. En general |a + b| ≠ |a| + |b|; la igualdad solo se cumple cuando a y b tienen el mismo signo o alguno es cero.
Distancia entre dos números en la recta numérica
La distancia entre dos números reales a y b es
d(a, b) = |a − b| = |b − a|
No importa el orden de la resta, porque el valor absoluto elimina el signo. Por ejemplo, la distancia entre −6 y 4 es |−6 − 4| = |−10| = 10, y también |4 − (−6)| = 10. Esta idea se generaliza en el plano cartesiano con la fórmula de la distancia entre dos puntos, que usa la raíz cuadrada en lugar de las barras.
Gracias a esta interpretación, expresiones como |x − 3| < 2 se leen de forma muy intuitiva: «los números cuya distancia a 3 es menor que 2».
La función valor absoluto
La función f(x) = |x| asigna a cada número su valor absoluto. Su gráfica tiene forma de V con el vértice en el origen: coincide con la recta y = x para x ≥ 0 y con y = −x para x < 0. Es continua en todos los reales, par (simétrica respecto al eje vertical) y su recorrido es [0, +∞). En x = 0 presenta un pico, por lo que no es derivable en ese punto. La gráfica de f(x) = |x − h| + k es la misma V desplazada, con el vértice en el punto (h, k).
Ecuaciones con valor absoluto
Para resolver |A| = b, donde A es una expresión con la incógnita y b un número:
- Si b > 0, hay dos posibilidades: A = b o A = −b.
- Si b = 0, solo A = 0.
- Si b < 0, no hay solución, porque un valor absoluto nunca es negativo.
Cuando aparecen dos valores absolutos, |A| = |B|, se resuelven A = B y A = −B. En ecuaciones más complicadas conviene dividir la recta en intervalos según dónde cambia de signo cada expresión y comprobar después las soluciones.
Inecuaciones con valor absoluto
Con b > 0 se aplican dos reglas básicas:
- |A| < b ⇔ −b < A < b. La solución es un intervalo acotado (los puntos «cerca» del centro).
- |A| > b ⇔ A < −b o A > b. La solución es la unión de dos semirrectas (los puntos «lejos» del centro).
Lo mismo vale con ≤ y ≥, incluyendo los extremos. Si b es negativo, |A| < b no tiene solución y |A| > b se cumple para todo número real en el que A esté definida.
Otras extensiones
El concepto se generaliza fuera de los números reales. En los números complejos, el módulo de z = a + bi es |z| = √(a² + b²), la distancia de z al origen en el plano complejo; así, |3 + 4i| = 5. En los vectores se habla de módulo o norma. En física e ingeniería se usa para expresar errores: el error absoluto de una medida es |valor medido − valor real|.
Ejercicios resueltos
1. Calcula |−8| + |3 − 11| − |−2 · 5|.
|−8| = 8; |3 − 11| = |−8| = 8; |−2 · 5| = |−10| = 10. Resultado: 8 + 8 − 10 = 6.
2. Halla la distancia entre −4,5 y 9 en la recta numérica.
d = |9 − (−4,5)| = |13,5| = 13,5 unidades.
3. Resuelve |2x − 5| = 7.
Caso 1: 2x − 5 = 7 → 2x = 12 → x = 6. Caso 2: 2x − 5 = −7 → 2x = −2 → x = −1. Comprobación: |12 − 5| = 7 y |−2 − 5| = 7. Soluciones: x = 6 y x = −1.
4. Resuelve |x + 3| = −2.
Un valor absoluto nunca puede ser negativo, así que la ecuación no tiene solución.
5. Resuelve |x − 2| < 5 y exprésalo como intervalo.
−5 < x − 2 < 5 → sumando 2: −3 < x < 7. Solución: (−3, 7), es decir, los números que están a menos de 5 unidades del 2.
6. Resuelve |3x + 1| ≥ 8.
3x + 1 ≤ −8 → 3x ≤ −9 → x ≤ −3; o bien 3x + 1 ≥ 8 → 3x ≥ 7 → x ≥ 7/3. Solución: (−∞, −3] ∪ [7/3, +∞).
7. Resuelve |x − 1| = |x + 5|.
Caso A = B: x − 1 = x + 5 → −1 = 5, imposible. Caso A = −B: x − 1 = −x − 5 → 2x = −4 → x = −2. Solución: x = −2, el punto medio entre 1 y −5, que está a 3 unidades de ambos.
Importancia del valor absoluto
El valor absoluto permite hablar de tamaños y distancias sin preocuparse del sentido. Sirve para comparar números negativos, definir el error de una medida, expresar tolerancias en fabricación (una pieza de 50 mm con tolerancia de 0,1 mm cumple |L − 50| ≤ 0,1), calcular desviaciones en estadística y formular la definición de límite en el análisis matemático. Es, además, el primer ejemplo de norma, la idea que mide la «longitud» en espacios más generales.
Preguntas frecuentes
¿El valor absoluto puede ser negativo?
¿Cuál es el valor absoluto de un número positivo?
¿Qué diferencia hay entre valor absoluto y valor relativo?
¿Por qué |a + b| no siempre es igual a |a| + |b|?
¿Cómo se representa el valor absoluto en una calculadora o en programación?
Referencias
- Spivak, M. Calculus. Reverté.
- Stewart, J. Precálculo: matemáticas para el cálculo. Cengage Learning.
- Apostol, T. M. Calculus, vol. 1. Reverté.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Valor absoluto». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/valor-absoluto/
