Variables discretas y continuas
Las variables discretas toman valores aislados que se pueden enumerar y las continuas cualquier valor de un intervalo, lo que cambia cómo se calculan sus probabilidades.
Las variables discretas y continuas son los dos tipos en que se dividen las variables numéricas según los valores que pueden tomar. Una variable discreta toma valores aislados que se pueden enumerar, como el número de caras al lanzar tres monedas; una continua puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, como la masa de una sandía. La diferencia decide cómo se calculan las probabilidades: con sumas en un caso y con integrales en el otro.
¿Qué son las variables discretas y continuas?
En estadística, una variable es una característica que cambia de un elemento a otro. Cuando sus valores son cantidades, se habla de variables cuantitativas, y estas se clasifican en dos grupos según su recorrido, es decir, el conjunto de valores posibles:
- Variable discreta: su recorrido es finito o infinito numerable. Sus valores se pueden poner en una lista, aunque sea interminable, como 0, 1, 2, 3… Entre dos valores consecutivos no hay valores posibles intermedios.
- Variable continua: su recorrido es un intervalo de la recta real (o una unión de intervalos). Entre dos valores cualesquiera siempre hay infinitos valores posibles, y no se pueden enumerar todos.
Esta clasificación solo se aplica a variables numéricas. Las variables cualitativas, como el color de ojos o el grupo sanguíneo, no son ni discretas ni continuas en este sentido, aunque se codifiquen con números.
Características y diferencias
| Aspecto | Variable discreta | Variable continua |
|---|---|---|
| Conjunto de valores | Finito o numerable | Intervalo de números reales |
| Probabilidad de un valor concreto | Puede ser mayor que cero: P(X = 2) = 0,375 | Siempre es cero: P(X = 2) = 0 |
| Función que describe la distribución | Función de probabilidad, p(x) = P(X = x) | Función de densidad, f(x) |
| Cálculo de probabilidades | Sumando valores de p(x) | Calculando áreas bajo f(x), es decir, integrales |
| Función de distribución F(x) | Escalonada, con saltos | Continua, sin saltos |
| Gráfico habitual | Diagrama de barras | Histograma o curva de densidad |
Variables aleatorias discretas
En teoría de la probabilidad, una variable aleatoria asigna un número a cada resultado de un experimento. Si es discreta, su comportamiento se describe con la función de probabilidad (también llamada función de masa), que indica la probabilidad de cada valor. Debe cumplir dos condiciones:
- p(x) ≥ 0 para todo valor x.
- La suma de todas las probabilidades es 1: Σ p(x) = 1.
Por ejemplo, si X es el número de caras al lanzar tres monedas equilibradas, los valores posibles son 0, 1, 2 y 3, con probabilidades 1/8, 3/8, 3/8 y 1/8. La esperanza o media se calcula como una suma ponderada: E[X] = Σ x · p(x).
Una variable discreta puede tener infinitos valores. El número de lanzamientos de un dado necesarios hasta sacar el primer seis puede ser 1, 2, 3… sin límite superior, y sigue siendo discreta porque esos valores se pueden enumerar con los números naturales.
Variables aleatorias continuas
Una variable continua se describe con una función de densidad f(x), que no da probabilidades directamente, sino la forma en que la probabilidad se reparte a lo largo del intervalo. Sus condiciones son:
- f(x) ≥ 0 para todo x.
- El área total bajo la curva vale 1: ∫ f(x) dx = 1.
La probabilidad de que la variable caiga entre dos valores a y b es el área bajo la curva en ese tramo: P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx. De aquí se derivan dos consecuencias que suelen sorprender:
- La probabilidad de un valor exacto es cero. El área de una línea sin anchura es nula, así que P(X = 5) = 0. Por eso, en una variable continua, P(a ≤ X ≤ b) y P(a < X < b) son iguales.
- La densidad puede ser mayor que 1. No es una probabilidad: si una variable se concentra en un intervalo muy estrecho, su densidad alcanza valores altos para que el área total siga valiendo 1.
La esperanza se obtiene con una integral: E[X] = ∫ x · f(x) dx.
Distribuciones más habituales
| Tipo | Distribución | Situación típica |
|---|---|---|
| Discreta | Bernoulli | Un solo ensayo con dos resultados: acierto o fallo |
| Discreta | Binomial | Número de éxitos en n ensayos independientes, como piezas defectuosas en un lote de 20 |
| Discreta | Poisson | Número de sucesos en un intervalo de tiempo o espacio: llamadas a una centralita en un minuto |
| Discreta | Geométrica | Número de intentos hasta el primer éxito |
| Continua | Uniforme | Cualquier valor de un intervalo es igual de probable: minuto de llegada de un tren que pasa cada 10 minutos |
| Continua | Normal | Magnitudes que se agrupan en torno a una media de forma simétrica, como muchos errores de medida |
| Continua | Exponencial | Tiempo hasta que ocurre un suceso, como la avería de un componente electrónico |
Casos dudosos y variables mixtas
En la práctica, la frontera no siempre es nítida:
- Discretas tratadas como continuas. Un salario en euros es, en rigor, discreto, porque avanza de céntimo en céntimo. Pero toma tantos valores que se analiza como continuo, agrupándolo en intervalos.
- Continuas registradas como discretas. La edad es continua, pero se suele anotar en años cumplidos. El dato registrado es discreto aunque la magnitud de fondo no lo sea.
- Variables mixtas. Algunas tienen una parte discreta y otra continua. La cantidad de lluvia diaria tiene una probabilidad positiva de ser exactamente 0 (los días secos) y, cuando llueve, puede tomar cualquier valor positivo. El importe que una aseguradora paga por una póliza en un año se comporta de forma parecida.
De lo discreto a lo continuo: la corrección por continuidad
Cuando una variable discreta tiene muchos valores, su distribución puede aproximarse con una continua. El caso clásico es aproximar una binomial con una normal de media np y desviación típica √(np(1 − p)), algo que se suele considerar aceptable cuando np y n(1 − p) son ambos al menos 5, aunque los manuales dan umbrales algo distintos.
Como la normal asigna probabilidad cero a cada valor aislado, cada entero k de la binomial se sustituye por el intervalo que va de k − 0,5 a k + 0,5. Este ajuste se llama corrección por continuidad. Por ejemplo, P(X ≤ 45) se aproxima por P(Y ≤ 45,5), donde Y es la variable normal.
Ejemplos de variables discretas y continuas
Discretas
- Número de caras al lanzar tres monedas.
- Clientes que entran en una panadería entre las 8 y las 9.
- Número de hijos de una pareja.
- Piezas defectuosas en una caja de 50 tornillos.
- Intentos necesarios para aprobar el examen práctico de conducir.
Continuas
- Masa de una sandía.
- Tiempo de carga completa de la batería de un móvil.
- Altura de un árbol.
- Volumen de leche que contiene un brik etiquetado como de un litro.
- Diámetro de los tornillos que fabrica una máquina.
Importancia
Saber si una variable es discreta o continua es el primer paso de cualquier análisis cuantitativo. Determina si las probabilidades se suman o se integran, qué modelo de distribución tiene sentido y qué gráfico representa mejor los datos. En control de calidad, por ejemplo, el número de piezas defectuosas se estudia con modelos discretos y el diámetro de esas piezas con modelos continuos. Elegir mal el tipo de variable lleva a errores tan básicos como atribuir probabilidad a un valor exacto de una magnitud continua.
Ejercicios resueltos
1. Clasifica como discreta o continua: a) número de mensajes de voz recibidos en un día; b) temperatura del agua de una piscina; c) número de lanzamientos hasta obtener un seis; d) duración de una llamada.
a) Discreta: se cuenta. b) Continua: puede tomar cualquier valor de un intervalo. c) Discreta, aunque no tenga límite superior: sus valores se enumeran como 1, 2, 3… d) Continua.
2. X es el número de caras al lanzar tres monedas, con P(0) = 1/8, P(1) = 3/8, P(2) = 3/8 y P(3) = 1/8. Calcula P(X ≥ 2) y la esperanza.
P(X ≥ 2) = 3/8 + 1/8 = 1/2. E[X] = 0 · 1/8 + 1 · 3/8 + 2 · 3/8 + 3 · 1/8 = 12/8 = 1,5 caras.
3. Un tren pasa cada 10 minutos y el tiempo de espera X sigue una distribución uniforme en [0, 10]. Calcula P(3 ≤ X ≤ 7) y P(X = 5).
La densidad es f(x) = 1/10 en el intervalo. P(3 ≤ X ≤ 7) = (7 − 3) · 1/10 = 0,4. P(X = 5) = 0, porque en una variable continua la probabilidad de un valor exacto es nula.
4. Comprueba que f(x) = 2x, para 0 ≤ x ≤ 1, es una función de densidad y calcula P(X ≤ 0,5).
Es no negativa en [0, 1] y su integral vale ∫01 2x dx = [x²]01 = 1, así que es una densidad. P(X ≤ 0,5) = [x²]00,5 = 0,25.
5. Se lanza una moneda 100 veces. Aproxima con la normal y la corrección por continuidad la probabilidad de obtener 45 caras o menos.
Media = 100 · 0,5 = 50; desviación típica = √(100 · 0,5 · 0,5) = 5. Con la corrección: P(X ≤ 45) ≈ P(Y ≤ 45,5). Tipificando, z = (45,5 − 50) / 5 = −0,9, y en la tabla de la normal P(Z ≤ −0,9) ≈ 0,184.
6. ¿Es discreta o continua la edad registrada en años cumplidos en un censo? ¿Y la edad exacta de una persona?
La edad registrada en años cumplidos es discreta (0, 1, 2…). La edad exacta es continua, porque el tiempo transcurrido desde el nacimiento puede tomar cualquier valor. El tipo de dato depende de cómo se registra la magnitud.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre una variable discreta y una continua?
¿Una variable discreta tiene que tomar valores enteros?
¿Por qué la probabilidad de un valor exacto es cero en una variable continua?
¿Puede una variable discreta tener infinitos valores?
¿Qué es la corrección por continuidad?
Referencias
- Peña, Daniel. Fundamentos de estadística. Alianza Editorial.
- Canavos, George C. Probabilidad y estadística: aplicaciones y métodos. McGraw-Hill.
- Walpole, Ronald E.; Myers, Raymond H.; Myers, Sharon L. y Ye, Keying. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Pearson.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Variables discretas y continuas». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/variables-discretas-y-continuas/
