Probabilidad: qué es, fórmulas y ejercicios

La probabilidad es la medida numérica, entre 0 y 1, de lo posible que es que ocurra un suceso incierto. Permite pasar de frases vagas («seguramente lloverá») a cifras que se pueden calcular, comparar y usar para decidir. Es la base de la estadística, los seguros, la genética, la física cuántica y la inteligencia artificial.

¿Qué es la probabilidad?

El término viene del latín probabilitas, de probabilis («que se puede probar», «verosímil»). En matemáticas, la probabilidad de un suceso A se escribe P(A) y cumple que:

0 ≤ P(A) ≤ 1. El 0 indica un suceso imposible y el 1, un suceso seguro.
Se expresa como fracción, decimal o porcentaje: 1/2 = 0,5 = 50 %.

Conceptos básicos: un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza (lanzar un dado); el espacio muestral es el conjunto de todos sus resultados posibles; y un suceso es un subconjunto de esos resultados (por ejemplo, «sacar un número par»).

Breve historia

1654: en su correspondencia, Blaise Pascal y Pierre de Fermat resuelven problemas de juegos de azar planteados por el caballero de Méré, considerada la fundación de la teoría de la probabilidad.
1657: Christiaan Huygens publica el primer tratado, De ratiociniis in ludo aleae.
1713: se publica, póstumamente, Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli, con la ley de los grandes números.
1812: Pierre-Simon Laplace publica su Théorie analytique des probabilités.
1933: Andrei Kolmogórov formula los axiomas que dan a la probabilidad su base matemática actual.

Enfoques de la probabilidad

Enfoque	Idea	Ejemplo
Clásico (Laplace)	Casos favorables entre casos posibles, si todos son igualmente probables	Un dado: P(sacar 5) = 1/6
Frecuentista	Frecuencia relativa a largo plazo al repetir el experimento	Si de 1000 piezas 20 son defectuosas, P ≈ 0,02
Subjetivo o bayesiano	Grado de creencia, que se actualiza con nueva evidencia	Probabilidad de que un candidato gane unas elecciones

Reglas básicas

Regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles

Complementario: P(no A) = 1 − P(A)

Unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Probabilidad condicionada: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

Teorema de Bayes: P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)

Dos sucesos son incompatibles si no pueden darse a la vez (en un dado, «par» e «impar»), e independientes si saber que ocurre uno no cambia la probabilidad del otro (dos lanzamientos de moneda).

Ejercicios resueltos

★ Practica paso a paso

1. Lanzas un dado de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par?

Casos favorables: 2, 4 y 6 (3). Casos posibles: 6. P = 3/6 = 1/2 = 0,5 (50 %).

2. Lanzas dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 7?

Hay 6 · 6 = 36 resultados posibles. Suman 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1), es decir, 6. P = 6/36 = 1/6 ≈ 0,167.

3. ¿Probabilidad de obtener al menos una cara en tres lanzamientos de una moneda?

Es más fácil por el complementario: no sacar ninguna cara (tres cruces) es (1/2)³ = 1/8. Entonces P = 1 − 1/8 = 7/8 = 0,875.

4. Una bolsa tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Sacas dos sin devolverlas. ¿Probabilidad de que ambas sean rojas?

Primera roja: 5/8. Con una roja menos, la segunda: 4/7. P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 0,357.

5. Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Una prueba detecta al 90 % de los enfermos (sensibilidad) pero da positivo en el 9 % de los sanos (falsos positivos). Si das positivo, ¿cuál es la probabilidad de estar enfermo?

P(positivo) = 0,01 · 0,90 + 0,99 · 0,09 = 0,009 + 0,0891 = 0,0981. Por Bayes: P(enfermo | positivo) = 0,009 / 0,0981 ≈ 0,092 (9,2 %). Aunque la prueba parezca fiable, como la enfermedad es rara, la mayoría de los positivos son falsos.

Aplicaciones de la probabilidad

Seguros y finanzas: cálculo de primas y riesgos.
Medicina: interpretación de pruebas diagnósticas y ensayos clínicos.
Ciencia e ingeniería: fiabilidad de sistemas, física estadística, mecánica cuántica.
Genética: herencia de caracteres, desde las leyes de Mendel.
Informática: aprendizaje automático, criptografía y algoritmos aleatorizados.
Vida cotidiana: previsión del tiempo («70 % de probabilidad de lluvia») y juegos de azar.

Errores frecuentes

Falacia del jugador: creer que, tras una racha de cruces, es más probable que salga cara. Los lanzamientos son independientes y cada uno vuelve a tener probabilidad 1/2.
Confundir P(A | B) con P(B | A): la probabilidad de que un enfermo dé positivo no es la de que un positivo esté enfermo (ejercicio 5).
Olvidar la dependencia: sacar sin reemplazamiento cambia las probabilidades sucesivas.

Relacionados: la estadística, el azar, el riesgo, la incertidumbre y la combinatoria.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la probabilidad en matemáticas?

Es un número entre 0 y 1 que mide la posibilidad de que ocurra un suceso aleatorio. El 0 significa imposible y el 1, seguro.

¿Cómo se calcula una probabilidad?

Si todos los resultados son igualmente probables, dividiendo los casos favorables entre los posibles (regla de Laplace). En otros casos se usan frecuencias observadas o reglas como la del producto, la suma y la probabilidad condicionada.

¿Qué diferencia hay entre probabilidad y estadística?

La probabilidad parte de un modelo conocido para predecir qué datos son esperables; la estadística va a la inversa: a partir de los datos observados, infiere cómo es el modelo.

¿Qué es la probabilidad condicionada?

Es la probabilidad de que ocurra un suceso sabiendo que ya ha ocurrido otro. Se calcula como P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

¿Qué significa que dos sucesos sean independientes?

Que la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro. Entonces la probabilidad de que ocurran ambos es el producto de sus probabilidades.

Referencias

Laplace, P.-S. (1814). Essai philosophique sur les probabilités.
Kolmogórov, A. N. (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Feller, W. (1950). An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Wiley.
Hacking, I. (1975). The Emergence of Probability. Cambridge University Press.

Cómo citar este artículo

Equipo de Conceptualia. (2026). «Probabilidad». Conceptualia. https://conceptualia.es/cultura-y-sociedad/conocimiento/probabilidad/

Sobre el autor

Conceptualia — El equipo editorial de Conceptualia redacta y revisa cada concepto para que sea claro, riguroso y útil, con ejemplos y ejercicios cuando ayudan a entenderlo.