Ciencias formales

Para comprobar que la suma de dos números pares es siempre par no hace falta salir a contar nada: basta razonar. Las ciencias formales trabajan así. No estudian cosas que se puedan pesar o fotografiar, sino estructuras abstractas (números, proposiciones, relaciones) y establecen verdades mediante demostraciones que valen en todos los casos.

¿Qué son las ciencias formales?

Las ciencias formales son las disciplinas que estudian sistemas de signos y estructuras abstractas, y cuyos enunciados se establecen por deducción lógica a partir de definiciones y axiomas, no por observación del mundo. Las más reconocidas son la lógica y la matemática; muchos autores incluyen además la estadística, la teoría de la computación, la teoría de la información y la teoría de sistemas.

Se llaman «formales» porque se ocupan de la forma de los razonamientos y las estructuras, con independencia del contenido concreto. Que un razonamiento sea válido no depende de que hable de manzanas o de planetas, sino de su forma. Su contrapunto son las ciencias fácticas, que estudian hechos.

Características

• Objetos ideales: sus entes (el número 7, un triángulo perfecto, una proposición) no existen como cosas materiales.
• Método deductivo: parten de axiomas y definiciones y obtienen teoremas mediante reglas de inferencia.
• Verdad formal: un enunciado es verdadero si se sigue lógicamente de los axiomas, no porque lo confirme la experiencia.
• Demostración: una vez demostrado un teorema, vale de forma definitiva dentro de su sistema, algo que no ocurre con las teorías empíricas.
• Autonomía respecto de la experiencia: no requieren laboratorio, aunque a menudo se inspiran en problemas reales.
• Lenguaje simbólico: utilizan notación precisa que elimina la ambigüedad del lenguaje natural.
• Aplicabilidad: sirven de herramienta a casi todas las demás ciencias.

Principales ciencias formales

Lógica

Estudia las reglas que hacen válido un razonamiento. Nace con Aristóteles y su silogismo («todos los hombres son mortales; Sócrates es hombre; luego Sócrates es mortal») y se transforma en una disciplina matemática con Gottlob Frege, cuya Conceptografía (1879) inauguró la lógica moderna.

Matemática

Estudia números, formas, estructuras y patrones. Se organiza en ramas como la aritmética, el álgebra, la geometría, el análisis o la probabilidad. Los Elementos de Euclides (hacia 300 a. C.) son el modelo clásico de sistema axiomático.

Estadística y teoría de la computación

La estadística formaliza la incertidumbre y el análisis de datos. La teoría de la computación estudia qué problemas pueden resolverse con algoritmos y con qué recursos; sus bases las sentó Alan Turing en 1936 al definir la máquina que lleva su nombre.

Ejemplo de razonamiento formal

Una demostración sencilla: la suma de dos números pares es par. Un número par se escribe 2a, con a entero. Si tomamos dos pares, 2a y 2b, su suma es:

Como a + b es un entero, el resultado es 2 multiplicado por un entero, es decir, par. La prueba vale para infinitos casos a la vez, algo que ninguna cantidad de ejemplos concretos garantizaría.

Límites: el teorema de Gödel

En 1931, Kurt Gödel demostró que en cualquier sistema formal consistente que sea lo bastante potente para contener la aritmética, existen enunciados verdaderos que no pueden demostrarse dentro del sistema. Este resultado, los teoremas de incompletitud, puso límites al proyecto de Hilbert de fundamentar toda la matemática en un sistema completo y mostró que el rigor formal tiene fronteras.

Importancia y aplicaciones

• Informática e inteligencia artificial: los lenguajes de programación, los algoritmos y los circuitos digitales se fundamentan en lógica y matemáticas discretas.
• Criptografía: la seguridad de las comunicaciones y de los pagos en línea se basa en resultados de teoría de números.
• Ciencias naturales y sociales: la física se expresa en ecuaciones; la economía y la sociología emplean modelos y estadística.
• Pensamiento crítico: la lógica ayuda a detectar falacias y a argumentar con rigor.

Preguntas frecuentes

Referencias

• Bunge, M. (1960). La ciencia, su método y su filosofía.
• Copi, I. M. (1953). Introducción a la lógica.
• Nagel, E. y Newman, J. R. (1958). El teorema de Gödel.