Ejemplos de números irracionales
Sesenta y un números irracionales con sus cifras comprobadas, de √2 y π a la constante de Champernowne, con ejercicios resueltos.
Los números irracionales son los que no pueden escribirse como una fracción: tienen infinitas cifras decimales que nunca se repiten en un periodo. El más famoso es π, pero también lo son √2, el número e o el número áureo. Aquí tienes 61 ejemplos de números irracionales con sus primeras cifras comprobadas, agrupados en raíces, constantes, logaritmos, valores trigonométricos y números construidos, además de ejercicios resueltos.
¿Qué es un número irracional?
Un número irracional es un número real que no se puede expresar como cociente a/b de dos enteros (con b ≠ 0). Por eso su expresión decimal es infinita y no periódica, a diferencia de los números racionales, cuyos decimales terminan o se repiten. El nombre viene de que no son una «razón» (ratio, en latín) entre enteros. Su conjunto se representa a menudo como 𝕀 o como ℝ ℚ.
Según la tradición, el primero en descubrirlos fue el pitagórico Hipaso de Metaponto, en el siglo V a. C., al comprobar que la diagonal de un cuadrado de lado 1 mide √2 y no es una razón entre enteros. Euler demostró en 1737 que e es irracional y Lambert, en 1761, que también lo es π.
Características
- Decimales infinitos y no periódicos: no se pueden escribir completos; se usan aproximaciones (π ≈ 3,1416).
- No son fracciones: 22/7 o 3,14 son solo aproximaciones racionales de π.
- Raíces: la raíz cuadrada de un natural que no es cuadrado perfecto es irracional (√2, √3, √5…); igual con las raíces cúbicas de los no cubos perfectos.
- Operaciones: un racional (distinto de cero) sumado o multiplicado por un irracional da un irracional; pero dos irracionales pueden dar un racional: √2 · √2 = 2.
- Son infinitos y «más numerosos» que los racionales: Georg Cantor demostró en 1874 que los reales no son numerables, mientras que los racionales sí lo son.
Ejemplos de números irracionales
Raíces cuadradas no exactas
| Número | Valor aproximado |
|---|---|
| √2 | 1,41421356… |
| √3 | 1,73205080… |
| √5 | 2,23606797… |
| √6 | 2,44948974… |
| √7 | 2,64575131… |
| √8 = 2√2 | 2,82842712… |
| √10 | 3,16227766… |
| √11 | 3,31662479… |
| √12 = 2√3 | 3,46410161… |
| √13 | 3,60555127… |
| √14 | 3,74165738… |
| √15 | 3,87298334… |
| √17 | 4,12310562… |
| √18 = 3√2 | 4,24264068… |
| √19 | 4,35889894… |
| √20 = 2√5 | 4,47213595… |
| √21 | 4,58257569… |
| √22 | 4,69041575… |
| √23 | 4,79583152… |
| √24 = 2√6 | 4,89897948… |
| √26 | 5,09901951… |
| √27 = 3√3 | 5,19615242… |
Otras raíces
| Número | Valor aproximado |
|---|---|
| ∛2 (raíz cúbica de 2) | 1,25992104… |
| ∛3 | 1,44224957… |
| ∛5 | 1,70997594… |
| ∛10 | 2,15443469… |
| ⁴√2 (raíz cuarta de 2) | 1,18920711… |
| √2/2 | 0,70710678… |
Constantes matemáticas
| Número | Valor aproximado |
|---|---|
| π (número pi): longitud de una circunferencia dividida por su diámetro | 3,14159265… |
| e (número de Euler): base de los logaritmos neperianos | 2,71828182… |
| φ (número áureo) = (1 + √5)/2 | 1,61803398… |
| Número de plata = 1 + √2 | 2,41421356… |
| Número plástico (solución real de x³ = x + 1) | 1,32471795… |
| Constante de Apéry, ζ(3) (irracional desde 1978) | 1,20205690… |
| Constante de Gelfond, eπ | 23,14069263… |
| Constante de Gelfond-Schneider, 2√2 | 2,66514414… |
| √π | 1,77245385… |
| π² | 9,86960440… |
| 2π | 6,28318530… |
| π/2 | 1,57079632… |
| 1/π | 0,31830988… |
| e² | 7,38905609… |
| √e | 1,64872127… |
Logaritmos
| Número | Valor aproximado |
|---|---|
| ln 2 (logaritmo neperiano de 2) | 0,69314718… |
| ln 3 | 1,09861228… |
| ln 10 | 2,30258509… |
| log 2 (logaritmo decimal de 2) | 0,30102999… |
| log 3 | 0,47712125… |
| log 5 | 0,69897000… |
Valores trigonométricos
| Número | Valor aproximado |
|---|---|
| sen 60° = √3/2 | 0,86602540… |
| tg 30° = √3/3 | 0,57735026… |
| sen 15° = (√6 − √2)/4 | 0,25881904… |
| sen 1 (1 radián) | 0,84147098… |
| cos 1 | 0,54030230… |
| tg 1 | 1,55740772… |
Números construidos y combinaciones
| Número | Por qué es irracional |
|---|---|
| 0,1010010001000010… | Cada vez hay un cero más entre los unos, así que no hay periodo. |
| Constante de Champernowne: 0,12345678910111213… | Se escriben seguidos todos los naturales; Champernowne la estudió en 1933. |
| Constante de Copeland-Erdős: 0,23571113171923… | Se escriben seguidos todos los números primos (demostrado en 1946). |
| Constante de Liouville: 0,110001000000000000000001… | Joseph Liouville la presentó en 1851 como ejemplo de número trascendente. |
| √2 + √3 ≈ 3,14626436… | Si fuera racional, su cuadrado 5 + 2√6 también lo sería, y √6 no lo es. |
| π + √2 ≈ 4,55580621… | La suma de un trascendente y un algebraico es trascendente. |
Tipos de números irracionales
- Algebraicos: son solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. Por ejemplo, √2 resuelve x² − 2 = 0 y φ resuelve x² − x − 1 = 0.
- Trascendentes: no son solución de ninguna de esas ecuaciones. Hermite lo demostró para e en 1873 y Lindemann para π en 1882, lo que probó que es imposible la cuadratura del círculo con regla y compás.
Racionales e irracionales juntos forman los números reales. Para ver cómo se comportan los decimales que sí terminan o se repiten, consulta los ejemplos de números decimales.
Ejercicios resueltos
1. ¿Son irracionales √49 y √50?
49 = 7² es cuadrado perfecto, así que √49 = 7 es racional. 50 no es cuadrado perfecto, así que √50 ≈ 7,0711 es irracional.
2. Clasifica: 0,333…; √16; π; 0,1010010001…; 22/7.
Racionales: 0,333… (= 1/3), √16 (= 4) y 22/7. Irracionales: π y 0,1010010001…
3. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado?
Por el teorema de Pitágoras, d = √(5² + 5²) = √50 = 5√2 ≈ 7,07 cm, un valor irracional.
4. Calcula √2 · √8. ¿El resultado es irracional?
√2 · √8 = √16 = 4, un número racional: el producto de dos irracionales no siempre es irracional.
5. ¿Entre qué dos enteros consecutivos está √10?
3² = 9 < 10 < 16 = 4², así que 3 < √10 < 4 (√10 ≈ 3,1623).
6. Demuestra que √2 es irracional.
Supón √2 = a/b, fracción irreducible. Entonces a² = 2b², luego a es par: a = 2k. Sustituyendo, 4k² = 2b², es decir, b² = 2k², y b también es par. Pero a y b no pueden ser ambos pares si la fracción es irreducible: contradicción. Por tanto, √2 es irracional.
Importancia de los números irracionales
Los irracionales aparecen en cuanto se mide el mundo real: la diagonal de un cuadrado (√2), la altura de un triángulo equilátero (√3/2 por lado), la longitud de una rueda (π por el diámetro), el crecimiento continuo de un capital o de una población (e) y las proporciones de un pentágono regular (φ). La proporción entre los lados de un folio A4 se basa en √2, de modo que al doblarlo por la mitad conserva su forma. Sin ellos no existirían el cálculo, la trigonometría ni buena parte de la física.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son los números irracionales más conocidos?
π (3,14159…), el número e (2,71828…), el número áureo φ (1,61803…) y las raíces cuadradas no exactas como √2 (1,41421…) y √3 (1,73205…).
¿Es 3,14 un número irracional?
No. 3,14 es un decimal exacto, igual a 314/100, y por tanto racional. Es solo una aproximación de π, que sí es irracional.
¿La raíz cuadrada de cualquier número es irracional?
No. Solo es irracional la raíz de un natural que no es cuadrado perfecto. √25 = 5 y √0,25 = 0,5 son racionales.
¿Se sabe si π + e es irracional?
No. Es un problema abierto: no se ha demostrado si π + e, π · e o la constante de Euler-Mascheroni (0,5772…) son racionales o irracionales, aunque se cree que son irracionales.
¿Quién descubrió los números irracionales?
La tradición lo atribuye a Hipaso de Metaponto, de la escuela pitagórica, en el siglo V a. C., a partir de la diagonal del cuadrado. Euclides recogió después una demostración de la irracionalidad de √2.
Referencias
- Niven, Ivan. Numbers: Rational and Irrational. Mathematical Association of America.
- Hardy, G. H. y Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press.
- Stewart, Ian. Historia de las matemáticas en los últimos 10 000 años. Crítica.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Ejemplos de números irracionales». Conceptualia. https://conceptualia.es/ejemplos/ejemplos-de-numeros-irracionales/
