Ejemplos de teoremas
Un teorema es una afirmación demostrada a partir de axiomas: 65 ejemplos reales, de Pitágoras a Gödel, con su enunciado y autor.
Un teorema es una afirmación matemática que se ha demostrado de forma rigurosa a partir de axiomas y de otros resultados ya probados. Desde el teorema de Pitágoras hasta el último teorema de Fermat, que tardó más de tres siglos en demostrarse, los teoremas son los cimientos de las matemáticas y de buena parte de la ciencia. Aquí tienes 65 teoremas reales con su enunciado, su autor y su fecha, agrupados por ramas, además de ejercicios resueltos.
¿Qué es un teorema?
Según el Diccionario de la lengua española, un teorema es una proposición que se puede demostrar lógicamente partiendo de axiomas, postulados o de otras proposiciones ya demostradas. La palabra viene del latín theorēma, y este del griego theṓrēma, «lo que se contempla», de la misma familia que teoría.
Todo teorema tiene tres partes: la hipótesis (las condiciones de partida), la tesis (lo que se afirma) y la demostración (el razonamiento deductivo que lleva de una a otra). Una vez demostrado, un teorema es verdadero para siempre dentro de su sistema de axiomas.
Características y conceptos relacionados
| Término | Qué es |
|---|---|
| Axioma o postulado | Afirmación que se acepta sin demostración como punto de partida |
| Teorema | Resultado importante que se demuestra |
| Lema | Resultado auxiliar que se demuestra para probar un teorema |
| Corolario | Consecuencia directa de un teorema ya demostrado |
| Conjetura | Afirmación que se cree verdadera pero aún no se ha demostrado |
| Recíproco | El que resulta de intercambiar hipótesis y tesis; no siempre es cierto |
Ejemplos de teoremas
Geometría
| Teorema | Enunciado | Autor y fecha |
|---|---|---|
| Pitágoras | En un triángulo rectángulo, a² = b² + c² (hipotenusa al cuadrado igual a la suma de los cuadrados de los catetos) | Pitágoras, s. VI a. C.; ya se conocía en Babilonia |
| Tales (proporcionalidad) | Si varias rectas paralelas cortan a dos secantes, los segmentos determinados en una son proporcionales a los de la otra | Tales de Mileto, s. VI a. C. |
| Tales (semicircunferencia) | Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia, con el diámetro como lado, es rectángulo | Tales de Mileto, s. VI a. C. |
| De la altura | En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa cumple h² = m · n (producto de las proyecciones de los catetos) | Euclides, s. III a. C. |
| Del cateto | Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección: b² = a · m | Euclides, s. III a. C. |
| Del seno | a / sen A = b / sen B = c / sen C | Matemáticos islámicos medievales, ss. X-XIII |
| Del coseno | a² = b² + c² − 2bc · cos A; generaliza el de Pitágoras | Forma geométrica en Euclides; trigonométrica con al-Kashi, s. XV |
| Del ángulo inscrito | Un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco | Euclides, s. III a. C. |
| De la bisectriz | La bisectriz de un ángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados | Euclides, s. III a. C. |
| Ptolomeo | En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos | Claudio Ptolomeo, s. II |
| Ceva | Tres cevianas AD, BE y CF de un triángulo concurren si y solo si (BD/DC) · (CE/EA) · (AF/FB) = 1 | Giovanni Ceva, 1678 |
| Menelao | Tres puntos sobre las rectas de los lados de un triángulo están alineados si y solo si el producto de las razones (con signo) es −1 | Menelao de Alejandría, ss. I-II |
| Pascal | En un hexágono inscrito en una cónica, los puntos de corte de los lados opuestos están alineados | Blaise Pascal, 1640, con 16 años |
| Morley | Las trisectrices adyacentes de los ángulos de cualquier triángulo se cortan formando un triángulo equilátero | Frank Morley, 1899 |
| Viviani | En un triángulo equilátero, la suma de las distancias de un punto interior a los tres lados es igual a la altura | Vincenzo Viviani, s. XVII |
| Pick | El área de un polígono con vértices en una cuadrícula es A = I + B/2 − 1 (I puntos interiores, B puntos del borde) | Georg Pick, 1899 |
Topología y geometría avanzada
| Teorema | Enunciado | Autor y fecha |
|---|---|---|
| Euler para poliedros | En todo poliedro convexo, caras + vértices = aristas + 2 | Leonhard Euler, 1750 |
| Curva de Jordan | Toda curva cerrada simple divide el plano en una región interior y otra exterior | Camille Jordan, 1887 |
| Cuatro colores | Bastan cuatro colores para colorear cualquier mapa plano sin que dos regiones vecinas compartan color | Kenneth Appel y Wolfgang Haken, 1976, con ayuda de ordenador |
| Punto fijo de Brouwer | Toda función continua de un disco cerrado en sí mismo deja al menos un punto fijo | L. E. J. Brouwer, hacia 1910 |
| Teorema egregio | La curvatura de una superficie no cambia al doblarla sin estirarla; por eso no existe un mapa plano exacto de la Tierra | Carl Friedrich Gauss, 1827 |
| Poincaré-Perelman | Toda variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa es equivalente a la esfera de tres dimensiones | Conjeturado por Henri Poincaré (1904); demostrado por Grigori Perelman (2002-2003) |
Teoría de números
| Teorema | Enunciado | Autor y fecha |
|---|---|---|
| Infinitud de los primos | Existen infinitos números primos | Euclides, hacia el 300 a. C. |
| Fundamental de la aritmética | Todo entero mayor que 1 se descompone en producto de primos de forma única, salvo el orden | Euclides; demostración completa de Gauss, 1801 |
| Pequeño teorema de Fermat | Si p es primo y a no es múltiplo de p, ap−1 − 1 es divisible por p | Pierre de Fermat, 1640; demostrado por Euler, 1736 |
| Último teorema de Fermat | xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene soluciones en enteros positivos si n > 2 | Enunciado por Fermat hacia 1637; demostrado por Andrew Wiles, 1994 |
| Wilson | Un número p > 1 es primo si y solo si (p − 1)! + 1 es divisible por p | John Wilson; publicado por Waring, 1770; demostrado por Lagrange, 1771 |
| Dos cuadrados de Fermat | Un primo impar es suma de dos cuadrados si y solo si al dividirlo entre 4 da resto 1 (13 = 4 + 9) | Fermat; demostrado por Euler hacia 1749 |
| Cuatro cuadrados de Lagrange | Todo número natural es suma de cuatro cuadrados (7 = 4 + 1 + 1 + 1) | Joseph-Louis Lagrange, 1770 |
| Chino del resto | Un sistema de congruencias con módulos primos entre sí tiene solución única módulo su producto | Sunzi, entre los ss. III y V |
| Dirichlet | Si a y d son primos entre sí, la progresión a, a + d, a + 2d… contiene infinitos primos | Peter G. L. Dirichlet, 1837 |
| De los números primos | La cantidad de primos menores que x se aproxima a x / ln x | Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin, por separado, 1896 |
| Green-Tao | Los primos contienen progresiones aritméticas tan largas como se quiera | Ben Green y Terence Tao, 2004 |
| Euclides-Euler | Un número par es perfecto si y solo si es 2p−1(2p − 1) con 2p − 1 primo | Euclides (una dirección) y Euler (la otra) |
Álgebra
| Teorema | Enunciado | Autor y fecha |
|---|---|---|
| Fundamental del álgebra | Todo polinomio de grado n ≥ 1 con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja | Carl Friedrich Gauss, 1799 |
| Del resto | El resto de dividir P(x) entre (x − a) es P(a) | Se aplica con la regla de Paolo Ruffini, s. XIX |
| Del factor | (x − a) es factor de P(x) si y solo si P(a) = 0 | Consecuencia directa del teorema del resto |
| Abel-Ruffini | No hay fórmula general por radicales para las ecuaciones de grado 5 o superior | Paolo Ruffini (1799) y Niels Henrik Abel (1824) |
| Binomio de Newton | (a + b)ⁿ es la suma de los términos C(n, k) · an−k · bk | Isaac Newton lo generalizó en 1665; antes lo usaron al-Karaji y Pascal |
| Rouché-Frobenius | Un sistema lineal es compatible si la matriz de coeficientes y la ampliada tienen el mismo rango; es determinado si ese rango es igual al número de incógnitas | Eugène Rouché y Ferdinand G. Frobenius, s. XIX |
| Lagrange (grupos) | En un grupo finito, el orden de cualquier subgrupo divide al orden del grupo | Atribuido a Lagrange, 1771 |
| Cayley-Hamilton | Toda matriz cuadrada anula su propio polinomio característico | Arthur Cayley (1858) y William R. Hamilton |
Análisis matemático
| Teorema | Enunciado | Autor y fecha |
|---|---|---|
| Bolzano | Si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe c en (a, b) con f(c) = 0 | Bernard Bolzano, 1817 |
| Weierstrass | Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él un máximo y un mínimo | Karl Weierstrass, s. XIX |
| Rolle | Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), existe c con f′(c) = 0 | Michel Rolle, 1691 |
| Valor medio | Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe c con f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a) | Joseph-Louis Lagrange, 1797 |
| Fundamental del cálculo | Derivar e integrar son operaciones inversas: la integral de f entre a y b es F(b) − F(a) | Isaac Barrow, Newton y Leibniz, s. XVII |
| Taylor | Una función derivable puede aproximarse cerca de un punto por un polinomio construido con sus derivadas | Brook Taylor, 1715 |
| L’Hôpital | Ante una indeterminación 0/0 o ∞/∞, el límite de f/g coincide con el de f′/g′ si este existe | Johann Bernoulli; publicado por el marqués de L’Hôpital, 1696 |
| Hermite | El número e es trascendente | Charles Hermite, 1873 |
| Lindemann | El número π es trascendente; por eso la cuadratura del círculo con regla y compás es imposible | Ferdinand von Lindemann, 1882 |
Probabilidad y estadística
| Teorema | Enunciado | Autor y fecha |
|---|---|---|
| Bayes | P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B) | Thomas Bayes; publicado por Richard Price, 1763 |
| Central del límite | La suma de muchas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con varianza finita, se aproxima a una distribución normal | Abraham de Moivre (1733), Laplace (1812) y Liapunov (1901) |
| Ley de los grandes números | Al repetir un experimento muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso tiende a su probabilidad | Jakob Bernoulli, publicado en 1713 |
Lógica, conjuntos y computación
| Teorema | Enunciado | Autor y fecha |
|---|---|---|
| Incompletitud de Gödel | En todo sistema formal consistente que incluya la aritmética hay enunciados que no se pueden demostrar ni refutar, y el sistema no puede probar su propia consistencia | Kurt Gödel, 1931 |
| Cantor (conjunto potencia) | El conjunto de los subconjuntos de A tiene siempre mayor cardinal que A | Georg Cantor, 1891 |
| Cantor (no numerabilidad) | Los números reales no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los naturales | Georg Cantor, 1874 |
| Problema de la parada | No existe un algoritmo que decida, para cualquier programa y entrada, si el programa terminará | Alan Turing, 1936 |
| Banach-Tarski | Una bola maciza puede dividirse en un número finito de piezas que, recolocadas, forman dos bolas iguales a la original (con el axioma de elección) | Stefan Banach y Alfred Tarski, 1924 |
Física, economía e información
| Teorema | Enunciado | Autor y fecha |
|---|---|---|
| Noether | Cada simetría continua de un sistema físico implica una ley de conservación | Emmy Noether, 1918 |
| Imposibilidad de Arrow | Con tres o más opciones, ningún sistema de votación no dictatorial cumple a la vez ciertas condiciones básicas de equidad | Kenneth Arrow, 1951 |
| Minimax | En los juegos finitos de suma cero entre dos jugadores existe una estrategia óptima para cada uno | John von Neumann, 1928 |
| Equilibrio de Nash | Todo juego finito tiene al menos un equilibrio en estrategias mixtas | John Nash, 1950 |
| Muestreo de Nyquist-Shannon | Una señal sin frecuencias superiores a B se reconstruye exactamente si se muestrea a más de 2B veces por segundo | Claude Shannon, 1949, a partir de Harry Nyquist |
| Bell | Ninguna teoría de variables ocultas locales reproduce todas las predicciones de la mecánica cuántica | John S. Bell, 1964 |
Ejercicios resueltos
1. Señala la hipótesis y la tesis del teorema de Pitágoras.
Hipótesis: el triángulo es rectángulo, con hipotenusa a y catetos b y c. Tesis: a² = b² + c².
2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
a² = 36 + 64 = 100, así que a = 10 cm.
3. Comprueba el teorema de Euler en un cubo.
El cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas: 6 + 8 = 12 + 2, es decir, 14 = 14.
4. ¿Tiene f(x) = x³ − x − 1 alguna raíz entre 1 y 2?
f(1) = −1 y f(2) = 5 tienen signos opuestos y f es continua: por el teorema de Bolzano, sí hay al menos una raíz en (1, 2).
5. Comprueba el pequeño teorema de Fermat con p = 7 y a = 2.
2⁶ − 1 = 63 = 7 · 9, divisible por 7.
6. Clasifica como teorema o conjetura: la conjetura de Goldbach, el último teorema de Fermat y la hipótesis de Riemann.
Teorema: el último de Fermat (demostrado en 1994). Conjeturas: Goldbach y Riemann, que siguen sin demostrar.
Importancia
Los teoremas garantizan que lo que se construye sobre ellos es fiable. El de Pitágoras sirve para medir distancias en una obra o en un GPS; el de Bayes, para filtrar correo basura o interpretar pruebas médicas; el de Nyquist-Shannon explica por qué el audio digital se muestrea a 44.100 veces por segundo; y el pequeño teorema de Fermat está en la base de la criptografía que protege los pagos en internet. Además, aprender a distinguir hipótesis, tesis y demostración entrena el pensamiento lógico en cualquier disciplina.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un teorema?
Es una proposición que se demuestra de forma lógica a partir de axiomas o de otros resultados ya probados. Consta de hipótesis, tesis y demostración.
¿Qué diferencia hay entre teorema y axioma?
El axioma se acepta sin demostración como punto de partida; el teorema, en cambio, necesita ser demostrado a partir de los axiomas.
¿Cuál es el teorema más famoso?
El de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
¿Qué es un corolario?
Es una consecuencia inmediata de un teorema ya demostrado, que se deduce de él con poco esfuerzo adicional.
¿Cuándo una conjetura se convierte en teorema?
Cuando alguien la demuestra y la comunidad matemática verifica la prueba. Así ocurrió con el último teorema de Fermat (1994) y con la conjetura de Poincaré (2003).
Referencias
- Euclides. Elementos. Gredos.
- Boyer, C. B. Historia de la matemática. Alianza Editorial.
- Courant, R. y Robbins, H. ¿Qué son las matemáticas? Fondo de Cultura Económica.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Ejemplos de teoremas». Conceptualia. https://conceptualia.es/ejemplos/ejemplos-de-teorema/
