Ejemplos de unión de conjuntos
Cómo se calcula A ∪ B con 62 ejemplos resueltos, de listas de números y letras a intervalos de la recta real.
La unión de dos conjuntos reúne en uno solo todos los elementos que están en el primero, en el segundo o en ambos, sin repetir ninguno. Es la operación más intuitiva de la teoría de conjuntos: juntar la lista de quien juega al fútbol con la de quien juega al baloncesto y contar a cada persona una sola vez. En este artículo tienes 62 ejemplos resueltos, desde conjuntos de números y letras hasta intervalos de la recta real.
¿Qué es la unión de conjuntos?
Dados dos conjuntos A y B, su unión, que se escribe A ∪ B y se lee «A unión B», es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B o a los dos:
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}
La «o» es inclusiva: un elemento que esté en ambos también entra, pero se escribe una sola vez. El símbolo ∪, con forma de U, lo introdujo el matemático italiano Giuseppe Peano en 1888. En un diagrama de Venn, la unión se representa sombreando por completo los dos círculos.
Reglas y propiedades
| Propiedad | Expresión |
|---|---|
| Conmutativa | A ∪ B = B ∪ A |
| Asociativa | (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) |
| Idempotente | A ∪ A = A |
| Elemento neutro (conjunto vacío) | A ∪ ∅ = A |
| Con el conjunto universal | A ∪ U = U |
| Inclusión | A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B |
| Si B ⊆ A | A ∪ B = A |
| Distributiva | A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) |
| Ley de De Morgan | (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ |
| Número de elementos | n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) |
Para calcular una unión basta con escribir todos los elementos de A y añadir los de B que falten. El orden no importa y los repetidos se escriben una vez.
Ejemplos de unión de conjuntos
Conjuntos finitos de números
| Conjuntos | Unión |
|---|---|
| A = {1, 2, 3}, B = {4, 5} | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} |
| A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} |
| A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5} | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| A = {0}, B = {1} | A ∪ B = {0, 1} |
| A = {5, 10, 15}, B = {10, 20} | A ∪ B = {5, 10, 15, 20} |
| A = {1, 2}, B = {1, 2} | A ∪ B = {1, 2} |
| A = {7}, B = ∅ | A ∪ B = {7} |
| A = {−2, −1, 0}, B = {0, 1, 2} | A ∪ B = {−2, −1, 0, 1, 2} |
| A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3} | A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, porque B ⊆ A |
| A = {0,5; 1,5}, B = {1; 1,5} | A ∪ B = {0,5; 1; 1,5} |
| A = {1/2, 1/3}, B = {1/3, 1/4} | A ∪ B = {1/2, 1/3, 1/4} |
| A = {10, 100}, B = {1000} | A ∪ B = {10, 100, 1000} |
| A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {3, 4} | A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4} |
Conjuntos definidos por una propiedad
| Conjuntos | Unión |
|---|---|
| Pares del 1 al 9 {2, 4, 6, 8} e impares del 1 al 9 {1, 3, 5, 7, 9} | {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} |
| Múltiplos de 2 hasta 12 {2, 4, 6, 8, 10, 12} y de 3 hasta 12 {3, 6, 9, 12} | {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12} |
| Divisores de 12 {1, 2, 3, 4, 6, 12} y de 18 {1, 2, 3, 6, 9, 18} | {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} |
| Primos menores que 10 {2, 3, 5, 7} y pares menores que 10 {2, 4, 6, 8} | {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} |
| Cuadrados perfectos menores que 50 {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49} y cubos menores que 50 {1, 8, 27} | {1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, 49} |
| Múltiplos de 5 hasta 30 {5, 10, 15, 20, 25, 30} y de 10 hasta 30 {10, 20, 30} | {5, 10, 15, 20, 25, 30} |
| Divisores de 7 {1, 7} y de 11 {1, 11} | {1, 7, 11} |
| Soluciones de x² = 4 {−2, 2} y de x² = 9 {−3, 3} | {−3, −2, 2, 3} |
| Soluciones de x² − 5x + 6 = 0 {2, 3} y de x − 3 = 0 {3} | {2, 3} |
| Al lanzar un dado: sacar par {2, 4, 6} o sacar más de 4 {5, 6} | {2, 4, 5, 6} |
| Cifras de 2026 {0, 2, 6} y cifras de 1492 {1, 2, 4, 9} | {0, 1, 2, 4, 6, 9} |
| Números entre 10 y 50 acabados en 5 {15, 25, 35, 45} y múltiplos de 15 menores que 50 {15, 30, 45} | {15, 25, 30, 35, 45} |
Si quieres practicar con más listas de este tipo, mira los ejemplos de números primos.
Letras, palabras y otros símbolos
| Conjuntos | Unión |
|---|---|
| Vocales {a, e, i, o, u} y consonantes del español (22 letras) | El abecedario completo, de 27 letras |
| Letras de «casa» {a, c, s} y de «saco» {a, c, o, s} | {a, c, o, s} |
| Letras de «roma» y de «amor» | {a, m, o, r}: son el mismo conjunto |
| Letras de «sol» {l, o, s} y de «luna» {a, l, n, u} | {a, l, n, o, s, u} |
| Letras de «ola» {a, l, o} y de «mar» {a, m, r} | {a, l, m, o, r} |
| Letras de «Madrid» {a, d, i, m, r} y de «Sevilla» {a, e, i, l, s, v} | {a, d, e, i, l, m, r, s, v} |
| Vocales de «murciélago» y vocales de «piel» | {a, e, i, o, u} |
| Notas {do, re, mi} y {mi, fa, sol} | {do, re, mi, fa, sol} |
| Días laborables y días del fin de semana | Los siete días de la semana |
| Colores de la bandera de España {rojo, amarillo} y de Italia {verde, blanco, rojo} | {amarillo, blanco, rojo, verde} |
Conjuntos de la vida real
| Conjuntos | Unión |
|---|---|
| Planetas rocosos {Mercurio, Venus, Tierra, Marte} y gigantes {Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno} | Los ocho planetas del sistema solar |
| Planetas sin lunas {Mercurio, Venus} y planetas interiores {Mercurio, Venus, Tierra, Marte} | {Mercurio, Venus, Tierra, Marte} |
| Comunidades autónomas uniprovinciales {Asturias, Cantabria, La Rioja, Madrid, Murcia, Navarra, Islas Baleares} e insulares {Islas Baleares, Canarias} | Ocho comunidades: las siete uniprovinciales más Canarias |
| Grandes ríos españoles que desembocan en el Atlántico {Miño, Duero, Tajo, Guadiana, Guadalquivir} y en el Mediterráneo {Ebro, Júcar, Segura} | {Duero, Ebro, Guadalquivir, Guadiana, Júcar, Miño, Segura, Tajo} |
| Meses de 31 días (7) y meses de 30 días {abril, junio, septiembre, noviembre} | Todos los meses salvo febrero (11) |
| {primavera, verano} y {otoño, invierno} | Las cuatro estaciones |
| Ingredientes de la tortilla de patatas {huevo, patata, aceite, sal} y de la francesa {huevo, aceite, sal} | {aceite, huevo, patata, sal} |
| Países de la península ibérica {España, Portugal, Andorra} y países bañados por el golfo de Vizcaya {España, Francia} | {Andorra, España, Francia, Portugal} |
| Alumnos que juegan al fútbol {Ana, Luis, Marta} y al baloncesto {Luis, Pedro} | {Ana, Luis, Marta, Pedro}: Luis se cuenta una vez |
Conjuntos numéricos infinitos
| Unión | Resultado |
|---|---|
| ℕ ∪ {0} (si ℕ empieza en 1) | ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, …} |
| ℤ⁺ ∪ {0} ∪ ℤ⁻ | ℤ, los números enteros |
| Enteros pares ∪ enteros impares | ℤ |
| ℕ ∪ ℤ | ℤ, porque ℕ ⊆ ℤ |
| ℤ ∪ ℚ | ℚ, porque ℤ ⊆ ℚ |
| Racionales ∪ irracionales (ℚ ∪ 𝕀) | ℝ, los números reales |
| Primos ∪ compuestos ∪ {1} | ℕ = {1, 2, 3, …} |
| Múltiplos de 4 ∪ múltiplos de 2 | Múltiplos de 2 |
Las relaciones entre estos conjuntos se ven en los ejemplos de números racionales y los ejemplos de números irracionales.
Intervalos de la recta real
| Unión | Resultado |
|---|---|
| [1, 3] ∪ [2, 5] | [1, 5] |
| [0, 2) ∪ [2, 4] | [0, 4] |
| [−1, 1] ∪ [−3, 0] | [−3, 1] |
| (−2, 2) ∪ [0, 5) | (−2, 5) |
| (0, 1) ∪ {0, 1} | [0, 1] |
| (−∞, 3] ∪ [3, +∞) | ℝ |
| (−∞, 0) ∪ (0, +∞) | ℝ ∖ {0}, todos los reales menos el cero |
| [1, 2] ∪ [3, 4] | No se simplifica: son dos tramos separados |
| Dominio de f(x) = 1/(x − 2) | (−∞, 2) ∪ (2, +∞) |
| Soluciones de |x| > 3 | (−∞, −3) ∪ (3, +∞) |
Tipos de unión según la relación entre los conjuntos
- Conjuntos disjuntos (sin elementos comunes): la unión tiene n(A) + n(B) elementos. Ejemplo: {1, 2} ∪ {3} = {1, 2, 3}.
- Conjuntos con intersección: los comunes se cuentan una vez. {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
- Un conjunto contenido en otro: la unión es el mayor. {1} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
- Conjuntos iguales: la unión es el propio conjunto. A ∪ A = A.
Ejercicios resueltos
1. Calcula A ∪ B si A = {3, 6, 9} y B = {2, 3, 4}.
Escribimos A y añadimos lo que falta de B (2 y 4): A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 9}.
2. En una clase de 30 alumnos, 18 juegan al fútbol, 15 al baloncesto y 7 a los dos. ¿Cuántos practican al menos uno? ¿Cuántos ninguno?
n(F ∪ B) = 18 + 15 − 7 = 26 alumnos; no practican ninguno 30 − 26 = 4.
3. Simplifica [−4, 1) ∪ [0, 6].
Los intervalos se solapan entre 0 y 1, así que se funden: [−4, 6].
4. Si A ∪ B = A, ¿qué relación hay entre A y B?
Todos los elementos de B ya estaban en A: B ⊆ A.
5. Con U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2} y B = {2, 3}, comprueba la ley de De Morgan.
A ∪ B = {1, 2, 3} y su complementario es {4, 5}. A′ = {3, 4, 5}, B′ = {1, 4, 5} y A′ ∩ B′ = {4, 5}. Coinciden: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′.
6. Completa: {a, b} ∪ ____ = {a, b, c, d}, sabiendo que el conjunto que falta tiene dos elementos y ninguno en común con {a, b}.
Debe aportar justo las letras que faltan: {c, d}.
Cómo usarla
La unión aparece en cuanto hay que reunir posibilidades. En probabilidad, P(A ∪ B) es la probabilidad de que ocurra A o B. En lógica equivale a la disyunción inclusiva («o»). En informática, la instrucción UNION de SQL junta los resultados de dos consultas eliminando filas duplicadas, y los buscadores combinan resultados con el operador OR. En análisis se usa para escribir dominios y soluciones de inecuaciones que tienen varios tramos.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre unión e intersección?
La unión (A ∪ B) reúne los elementos que están en A o en B; la intersección (A ∩ B) solo los que están a la vez en los dos. La unión siempre es igual o mayor que cada conjunto; la intersección, igual o menor.
¿Se repiten los elementos comunes en la unión?
No. En un conjunto cada elemento aparece una sola vez, así que los comunes se escriben una vez.
¿Cuántos elementos tiene A ∪ B?
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Se resta la intersección para no contar dos veces los elementos comunes.
¿Qué da la unión con el conjunto vacío?
El mismo conjunto: A ∪ ∅ = A. Por eso se dice que el vacío es el elemento neutro de la unión.
¿Cómo se representa la unión en un diagrama de Venn?
Se dibujan los dos conjuntos como círculos y se sombrea toda la superficie que ocupan entre ambos, incluida la zona en que se solapan.
Referencias
- Halmos, P. R. Teoría intuitiva de los conjuntos. Compañía Editorial Continental.
- Lipschutz, S. Teoría de conjuntos y temas afines. Serie Schaum, McGraw-Hill.
- Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Vocabulario científico y técnico. Espasa.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Ejemplos de unión de conjuntos». Conceptualia. https://conceptualia.es/ejemplos/ejemplos-de-union-de-conjuntos/
