Vector
Un vector es un objeto con módulo, dirección y sentido que se representa como una flecha y describe magnitudes como la fuerza o la velocidad.
En matemáticas y en física, un vector es un objeto que representa una magnitud con módulo (o longitud), dirección y sentido. Se dibuja habitualmente como una flecha y sirve para describir desplazamientos, velocidades, fuerzas o aceleraciones. A diferencia de un escalar, que solo tiene valor numérico, el vector aporta información sobre hacia dónde actúa la magnitud.
¿Qué es un vector?
Un vector puede definirse de dos maneras complementarias. En geometría elemental es un segmento orientado: un segmento de recta con un origen y un extremo. En álgebra lineal es un elemento de un espacio vectorial, es decir, un objeto que puede sumarse con otros y multiplicarse por un número (escalar) cumpliendo ciertas propiedades. La palabra procede del latín vector, «el que transporta», derivado de vehere («llevar»).
Elementos de un vector
- Origen o punto de aplicación: punto donde comienza el vector.
- Módulo: longitud del vector; indica la intensidad de la magnitud. Siempre es un número no negativo.
- Dirección: la recta sobre la que se encuentra el vector.
- Sentido: hacia qué extremo de la recta apunta (indicado por la punta de la flecha).
Magnitudes escalares y vectoriales
| Escalares | Vectoriales |
|---|---|
| Masa | Fuerza |
| Temperatura | Velocidad |
| Tiempo | Aceleración |
| Energía | Desplazamiento |
| Rapidez | Campo eléctrico |
Componentes y módulo
En un plano con ejes cartesianos, un vector se expresa mediante sus componentes: v = (vx, vy). En el espacio se añade una tercera componente: v = (vx, vy, vz). También se escribe como combinación de los vectores unitarios i, j, k: v = vxi + vyj + vzk.
El módulo se calcula con el teorema de Pitágoras: |v| = √(vx² + vy²). Ejemplo: para v = (3, 4), |v| = √(9 + 16) = √25 = 5.
Si se conoce el módulo y el ángulo θ respecto al eje X, las componentes son vx = |v| cos θ y vy = |v| sen θ.
Tipos de vectores
- Vector nulo: tiene módulo cero.
- Vector unitario: tiene módulo 1.
- Vectores iguales o equipolentes: mismo módulo, dirección y sentido.
- Vectores opuestos: mismo módulo y dirección, pero sentido contrario.
- Vectores paralelos: tienen la misma dirección.
- Vectores perpendiculares u ortogonales: forman un ángulo de 90°.
- Vector posición: une el origen de coordenadas con un punto del espacio.
- Vectores libres, deslizantes y ligados: según puedan trasladarse libremente, moverse a lo largo de su recta o estar fijos a un punto.
Operaciones con vectores
Suma y resta
Se realizan componente a componente. Ejemplo: si a = (2, 1) y b = (1, 3), entonces a + b = (3, 4) y a − b = (1, −2). Gráficamente se utiliza la regla del paralelogramo o la del polígono (colocar un vector a continuación del otro).
Producto por un escalar
Multiplicar un vector por un número k cambia su módulo (|k| veces) y, si k es negativo, invierte su sentido. Ejemplo: 2·(1, 3) = (2, 6).
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores da como resultado un número: a · b = |a| |b| cos θ = axbx + ayby + azbz. Ejemplo: (1, 2, 3) · (4, 5, 6) = 4 + 10 + 18 = 32. Si el producto es cero, los vectores son perpendiculares. En física, el trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.
Producto vectorial
Solo definido en el espacio tridimensional, da como resultado otro vector perpendicular a los dos factores, con módulo |a × b| = |a| |b| sen θ. Ejemplo: i × j = k. Se emplea, por ejemplo, para calcular el momento de una fuerza o la fuerza magnética sobre una carga.
Aplicaciones
- Física: descripción de fuerzas, velocidades, campos y movimientos. Véase fuerza y velocidad.
- Ingeniería y arquitectura: cálculo de estructuras y cargas.
- Gráficos por ordenador y videojuegos: posiciones, movimientos e iluminación.
- Navegación: rumbo y velocidad del viento o de las corrientes.
- Informática y datos: en aprendizaje automático, la información se representa mediante vectores de muchas dimensiones.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un vector?
Es un objeto matemático con módulo, dirección y sentido, que se representa como una flecha y se usa para describir magnitudes como la fuerza o la velocidad.
¿Cuáles son los elementos de un vector?
El origen, el módulo, la dirección y el sentido.
¿Cómo se calcula el módulo de un vector?
Con el teorema de Pitágoras: raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Para el vector (3, 4), el módulo es 5.
¿Qué diferencia hay entre magnitud escalar y vectorial?
La escalar queda definida solo por un número y su unidad (como la masa); la vectorial necesita además dirección y sentido (como la fuerza).
¿Qué diferencia hay entre producto escalar y vectorial?
El producto escalar da un número y mide cuánto apuntan los vectores en la misma dirección; el vectorial da otro vector perpendicular a ambos.
Referencias
- Lang, S. (1987). Linear Algebra. Nueva York: Springer.
- Marsden, J. E. y Tromba, A. J. Cálculo vectorial. México: Pearson.
- Stewart, J. Cálculo de varias variables. México: Cengage Learning.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Vector». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/vector/
