Axioma

Un axioma es una proposición que se acepta como verdadera sin demostración y que sirve de punto de partida para construir un sistema de conocimiento. Tradicionalmente se consideraba una verdad tan evidente que no necesitaba prueba; en la matemática y la lógica modernas se entiende más bien como una afirmación que se adopta por convención para desarrollar una teoría y obtener a partir de ella otras proposiciones, los teoremas.

¿Qué es un axioma?

La palabra procede del griego axíōma, «lo que se considera digno», derivada de axioûn («estimar digno, juzgar válido»). En la Antigüedad, Aristóteles lo usó en los Analíticos posteriores para designar los principios primeros de una ciencia demostrativa: verdades que no se demuestran porque toda demostración parte de algo previo.

Un razonamiento no puede probarse a sí mismo indefinidamente: tarde o temprano hay que partir de algunas premisas no demostradas. Los axiomas cumplen ese papel de cimientos. Con ellos y mediante reglas de deducción lógica se construye todo el edificio de una teoría.

Axiomas y postulados en Euclides

El ejemplo histórico más influyente son los Elementos de Euclides (hacia el 300 a. C.), que organizó la geometría a partir de definiciones, cinco nociones comunes y cinco postulados. Las nociones comunes eran principios generales válidos en toda ciencia, como «las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí» o «el todo es mayor que la parte». Los postulados eran supuestos propios de la geometría, como la posibilidad de trazar una recta entre dos puntos.

La distinción entre axioma (general) y postulado (específico de una disciplina) tuvo mucha tradición, pero hoy ambos términos se emplean prácticamente como sinónimos.

El quinto postulado, el de las paralelas, parecía menos evidente que los demás. Los intentos de demostrarlo a partir de los otros fracasaron, y en el siglo XIX Lobachevski, Bolyai y Riemann mostraron que negarlo daba lugar a geometrías coherentes, las geometrías no euclidianas. Esto cambió la idea de axioma: ya no era una verdad evidente e indiscutible, sino una elección que define una teoría.

Características de un axioma

• No se demuestra dentro del sistema: se adopta como punto de partida.
• Es fundamental: de él, junto con otros axiomas, se derivan los teoremas.
• Debe ser consistente con los demás: un conjunto de axiomas que permita demostrar una cosa y su contraria carece de valor.
• Conviene que sea independiente: que no pueda deducirse de los restantes.
• Es relativo a una teoría: lo que es axioma en un sistema puede ser teorema en otro.

Axiomatización moderna

A finales del siglo XIX y principios del XX se reformuló la matemática con sistemas axiomáticos rigurosos. Giuseppe Peano propuso en 1889 los axiomas de los números naturales; David Hilbert publicó en 1899 los Fundamentos de la geometría, que completaban y corregían la axiomática de Euclides; y Zermelo y Fraenkel desarrollaron la axiomática de la teoría de conjuntos (ZFC), base habitual de las matemáticas actuales.

En 1931, Kurt Gödel demostró con sus teoremas de incompletitud que, en cualquier sistema axiomático consistente lo bastante potente como para contener la aritmética, hay enunciados verdaderos que no pueden demostrarse dentro de él. Este resultado puso un límite al ideal de axiomatizar toda la matemática.

Ejemplos de axiomas

Sentido coloquial y otros usos

En el lenguaje cotidiano, «axioma» se usa para referirse a un principio considerado indiscutible, como en «es un axioma de la publicidad que…». También se emplea en el derecho, donde los principios generales funcionan como puntos de partida del razonamiento jurídico, y en la filosofía, donde se discute si existen verdades evidentes por sí mismas. Conviene no confundirlo con la hipótesis, que es una suposición que se pretende comprobar, ni con el dogma, que se acepta por autoridad y no puede discutirse.

Importancia

Los axiomas hacen explícitas las suposiciones de una teoría, lo que permite examinar su coherencia, compararla con otras y detectar qué depende de qué. Son la base del método axiomático-deductivo, que ha dado a las matemáticas su rigor característico y se ha exportado a la lógica, la informática teórica y la física.

Preguntas frecuentes

Referencias

• Euclides. Elementos (hacia el 300 a. C.).
• Aristóteles. Analíticos posteriores.
• Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie [Fundamentos de la geometría] (1899).
• Gödel, K. «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I» (1931).
• Mosterín, J. Los lógicos. Espasa-Calpe.