Función matemática: qué es, tipos y ejemplos

Q: ¿Qué es una función matemática en palabras sencillas?

Es una regla que a cada valor de entrada le asigna un único valor de salida. Funciona como una máquina: introduces un número, aplica la regla y devuelve un resultado.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre dominio y recorrido?

El dominio son los valores que se pueden introducir en la función (valores de x), y el recorrido son los valores que realmente se obtienen como resultado (valores de y).

Q: ¿Toda ecuación es una función?

No. La ecuación de una circunferencia, x² + y² = 1, asigna dos valores de y a casi cada x, de modo que no define y como función de x. Una ecuación define una función cuando para cada x hay un único y.

Q: ¿Cómo sé si una gráfica es una función?

Con el criterio de la recta vertical: si alguna recta vertical corta la gráfica en dos o más puntos, no es una función.

Q: ¿Qué significa f(x)?

Se lee «f de x» y representa el valor que toma la función f en el punto x. No es un producto de f por x, sino la imagen de x mediante f.

La función matemática es la herramienta que describe cómo una cantidad depende de otra: el precio según los kilos comprados, la distancia recorrida según el tiempo, el área de un círculo según su radio. Es uno de los conceptos centrales de las matemáticas, porque permite expresar relaciones con una regla precisa, representarlas en una gráfica y predecir resultados.

¿Qué es una función matemática?

Una función matemática es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto, llamado dominio, un único elemento de otro conjunto, llamado codominio. Si la función se llama f, el conjunto de partida es A y el de llegada es B, se escribe:

f : A → B, x ↦ y = f(x)

La condición clave es la unicidad: cada valor de entrada produce exactamente un valor de salida. Dos entradas distintas pueden dar la misma salida, pero una misma entrada nunca puede dar dos salidas diferentes.

La palabra «función» procede del latín functio, «ejecución» o «cumplimiento», derivada de fungi, «desempeñar». La notación f(x) se consolidó en el siglo XVIII gracias a Leonhard Euler, y la definición moderna, basada en la correspondencia entre conjuntos, se formuló en el siglo XIX.

Notación y elementos de una función

En la expresión y = f(x) se distinguen varios elementos. Se lee «f de x» y no significa «f multiplicado por x».

Variable independiente (x): el valor de entrada, que se elige libremente dentro del dominio. Consulta variables dependientes e independientes.
Variable dependiente (y): el valor de salida, que depende del que se haya elegido para x.
Dominio, Dom(f): conjunto de valores de x para los que la función está definida.
Codominio: conjunto en el que se declara que están los resultados.
Recorrido o imagen, Im(f): conjunto de valores que realmente toma la función. Es un subconjunto del codominio. En algunos textos se le llama también «rango».
Gráfica: conjunto de puntos (x, f(x)) representados en el plano cartesiano.

Una función puede darse mediante una fórmula (f(x) = 2x + 1), una tabla de valores, una gráfica o una descripción verbal. Para saber si una gráfica corresponde a una función se aplica el criterio de la recta vertical: ninguna recta vertical debe cortar la curva en más de un punto.

Dominio y recorrido

El dominio de una función dada por una fórmula es, salvo que se indique otra cosa, el mayor conjunto de números reales para los que la expresión tiene sentido. Hay tres restricciones habituales:

No se puede dividir entre cero: en f(x) = 1/(x − 2) hay que excluir x = 2.
No existe la raíz de índice par de un número negativo en los reales: en f(x) = √(x + 4) debe cumplirse x + 4 ≥ 0.
El logaritmo exige un argumento estrictamente positivo: en f(x) = log x se requiere x > 0.

El recorrido se obtiene estudiando qué valores puede alcanzar y. Por ejemplo, f(x) = x² nunca es negativa, así que su recorrido es [0, +∞).

Tipos de funciones

Las funciones se pueden clasificar por la forma de su expresión o por sus propiedades.

Según su expresión

Tipo	Ejemplo	Dominio	Recorrido
Afín (lineal si n = 0)	f(x) = mx + n, con m ≠ 0	ℝ	ℝ
Cuadrática	f(x) = x²	ℝ	[0, +∞)
Raíz cuadrada	f(x) = √x	[0, +∞)	[0, +∞)
Racional	f(x) = 1/x	ℝ ∖ {0}	ℝ ∖ {0}
Exponencial	f(x) = 2ˣ	ℝ	(0, +∞)
Logarítmica	f(x) = log₂ x	(0, +∞)	ℝ
Trigonométrica	f(x) = sen x	ℝ	[−1, 1]

También existen las funciones definidas a trozos, que usan una fórmula distinta según el intervalo, como el valor absoluto: |x| = x si x ≥ 0 y |x| = −x si x < 0.

Según sus propiedades

Inyectiva: valores distintos de x dan valores distintos de y. Si f(a) = f(b), entonces a = b.
Sobreyectiva: todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio; es decir, Im(f) coincide con el codominio.
Biyectiva: es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Solo estas funciones admiten inversa en todo su codominio.
Creciente o decreciente: al aumentar x, aumenta o disminuye f(x).
Par o impar: es par si f(−x) = f(x) (simetría respecto al eje y, como x²) e impar si f(−x) = −f(x) (simetría respecto al origen, como x³).
Periódica: repite sus valores cada cierto intervalo, como el seno, con periodo 2π.

Operaciones con funciones

Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (en este último caso, excluyendo los puntos donde el divisor se anula). Además existen dos operaciones propias:

Composición: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Se aplica primero f y después g. En general la composición no es conmutativa: g ∘ f y f ∘ g suelen ser distintas.

Inversa: f⁻¹(f(x)) = x y f(f⁻¹(y)) = y

La función inversa deshace lo que hace f. La gráfica de f⁻¹ es la simétrica de la de f respecto a la recta y = x.

Ejemplos de funciones en la vida real

Tarifa de un taxi: C(d) = 3,50 + 1,20·d, donde d son los kilómetros recorridos. Es una función afín.
Área de un círculo: A(r) = πr². El radio determina el área.
Crecimiento de un capital con interés compuesto: C(t) = C₀(1 + i)ᵗ, una función exponencial.
Distancia recorrida a velocidad constante: s(t) = v·t, una función lineal del tiempo.

Para escribir estas relaciones con letras y números conviene dominar el lenguaje algebraico, y para entender sobre qué conjuntos están definidas, repasar los números naturales, enteros, racionales y reales.

Muchas propiedades de las funciones se establecen como teoremas, por ejemplo el que garantiza que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo.

Ejercicios resueltos

★ Practica paso a paso

1. Dada f(x) = 3x − 2, calcula f(4) y f(−1).

Sustituimos x en la fórmula. f(4) = 3·4 − 2 = 12 − 2 = 10. f(−1) = 3·(−1) − 2 = −3 − 2 = −5. Resultado: f(4) = 10 y f(−1) = −5.

2. Halla el dominio de g(x) = 1/(x − 2) y de h(x) = √(x + 4).

En g el denominador no puede ser cero: x − 2 ≠ 0, luego x ≠ 2. En h el radicando debe ser no negativo: x + 4 ≥ 0, luego x ≥ −4. Resultado: Dom(g) = ℝ ∖ {2} y Dom(h) = [−4, +∞).

3. ¿Es función la relación {(1, 2), (2, 3), (1, 4)}?

El valor de entrada 1 aparece asociado a dos salidas distintas, 2 y 4. Se incumple la unicidad. Resultado: no es una función.

4. Si f(x) = x + 1 y g(x) = x², calcula (g ∘ f)(x) y (f ∘ g)(x), y evalúalas en x = 2.

(g ∘ f)(x) = g(x + 1) = (x + 1)². (f ∘ g)(x) = f(x²) = x² + 1. En x = 2: (2 + 1)² = 9 y 2² + 1 = 5. Resultado: (x + 1)² y x² + 1; valores 9 y 5.

5. Calcula la inversa de f(x) = 2x + 1.

Escribimos y = 2x + 1 y despejamos x: x = (y − 1)/2. Intercambiamos los nombres de las variables. Resultado: f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Comprobación: f(f⁻¹(x)) = 2·(x − 1)/2 + 1 = x.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una función matemática en palabras sencillas?

Es una regla que a cada valor de entrada le asigna un único valor de salida. Funciona como una máquina: introduces un número, aplica la regla y devuelve un resultado.

¿Cuál es la diferencia entre dominio y recorrido?

El dominio son los valores que se pueden introducir en la función (valores de x), y el recorrido son los valores que realmente se obtienen como resultado (valores de y).

¿Toda ecuación es una función?

No. La ecuación de una circunferencia, x² + y² = 1, asigna dos valores de y a casi cada x, de modo que no define y como función de x. Una ecuación define una función cuando para cada x hay un único y.

¿Cómo sé si una gráfica es una función?

Con el criterio de la recta vertical: si alguna recta vertical corta la gráfica en dos o más puntos, no es una función.

¿Qué significa f(x)?

Se lee «f de x» y representa el valor que toma la función f en el punto x. No es un producto de f por x, sino la imagen de x mediante f.

Referencias

Real Academia Española: Diccionario de la lengua española, voz «función».
Stewart, J.: Cálculo de una variable: trascendentes tempranas, capítulo 1 «Funciones y modelos».
Spivak, M.: Calculus, capítulo 3 «Funciones».

Cómo citar este artículo

Equipo de Conceptualia. (2024). «Función matemática». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/funcion-matematica/

Sobre el autor

Conceptualia — El equipo editorial de Conceptualia redacta y revisa cada concepto para que sea claro, riguroso y útil, con ejemplos y ejercicios cuando ayudan a entenderlo.