Ejemplos de binomio al cuadrado

El binomio al cuadrado, también llamado cuadrado de un binomio, es uno de los productos notables más usados en álgebra: permite desarrollar expresiones como (x + 3)² sin multiplicar término a término. Su resultado siempre es un trinomio cuadrado perfecto. En este artículo verás la regla, por qué funciona y más de 70 ejemplos resueltos, desde los más sencillos hasta binomios con fracciones, potencias y raíces.

¿Qué es un binomio al cuadrado?

Un binomio es un polinomio de dos términos, como a + b o 2x − 5. Elevarlo al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo: (a + b)² = (a + b)(a + b). Al aplicar la propiedad distributiva se obtiene siempre el mismo patrón, que se memoriza como fórmula:

• Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Cuadrado de una diferencia: (a − b)² = a² − 2ab + b²

Se lee así: «el cuadrado del primero, más (o menos) el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo». La expresión resultante recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. La fórmula tiene una interpretación geométrica conocida desde Euclides (libro II de los Elementos): un cuadrado de lado a + b se descompone en un cuadrado de área a², otro de área b² y dos rectángulos de área ab.

Reglas para desarrollarlo

1. Identifica el primer término (a) y el segundo (b), con su signo.
2. Eleva al cuadrado el primer término: a². Recuerda elevar también el coeficiente: (3x)² = 9x².
3. Calcula el doble producto 2ab. Su signo es + si el binomio es una suma y − si es una diferencia.
4. Eleva al cuadrado el segundo término: b², que siempre es positivo.
5. Suma los tres resultados y ordena el polinomio.

Error muy frecuente: escribir (a + b)² = a² + b². Es falso: falta el doble producto. Por ejemplo, (3 + 4)² = 49, mientras que 3² + 4² = 25.

Ejemplos de binomio al cuadrado

Cuadrado de una suma con una variable

Binomio	Desarrollo
(x + 1)2	x2 + 2x + 1
(x + 2)2	x2 + 4x + 4
(x + 3)2	x2 + 6x + 9
(x + 4)2	x2 + 8x + 16
(x + 5)2	x2 + 10x + 25
(x + 6)2	x2 + 12x + 36
(x + 7)2	x2 + 14x + 49
(x + 8)2	x2 + 16x + 64
(x + 9)2	x2 + 18x + 81
(x + 10)2	x2 + 20x + 100

Cuadrado de una diferencia con una variable

Binomio	Desarrollo
(x − 1)2	x2 − 2x + 1
(x − 2)2	x2 − 4x + 4
(x − 3)2	x2 − 6x + 9
(x − 4)2	x2 − 8x + 16
(x − 5)2	x2 − 10x + 25
(x − 6)2	x2 − 12x + 36
(x − 7)2	x2 − 14x + 49
(x − 8)2	x2 − 16x + 64
(x − 9)2	x2 − 18x + 81
(x − 10)2	x2 − 20x + 100

Binomios con coeficientes

Binomio	Desarrollo
(2x + 3)2	4x2 + 12x + 9
(3x − 1)2	9x2 − 6x + 1
(5a + 2)2	25a2 + 20a + 4
(4m − 3)2	16m2 − 24m + 9
(2x + 5)2	4x2 + 20x + 25
(3y + 4)2	9y2 + 24y + 16
(7x − 2)2	49x2 − 28x + 4
(6a + 1)2	36a2 + 12a + 1
(10x − 3)2	100x2 − 60x + 9

Binomios con dos variables

Binomio	Desarrollo
(a + b)2	a2 + 2ab + b2
(a − b)2	a2 − 2ab + b2
(x + 2y)2	x2 + 4xy + 4y2
(3a − b)2	9a2 − 6ab + b2
(2x + 3y)2	4x2 + 12xy + 9y2
(5m − 2n)2	25m2 − 20mn + 4n2
(4p + q)2	16p2 + 8pq + q2
(x − 3y)2	x2 − 6xy + 9y2
(2a − 5b)2	4a2 − 20ab + 25b2
(xy + 1)2	x2y2 + 2xy + 1

Binomios con potencias

Binomio	Desarrollo
(x2 + 1)2	x4 + 2x2 + 1
(a2 − 3)2	a4 − 6a2 + 9
(x3 + 2)2	x6 + 4x3 + 4
(2x2 − y)2	4x4 − 4x2y + y2
(a2 + b2)2	a4 + 2a2b2 + b4
(x2 − 4y)2	x4 − 8x2y + 16y2
(m3 − n2)2	m6 − 2m3n2 + n4

Binomios con fracciones

Binomio	Desarrollo
(x + 1/2)2	x2 + x + 1/4
(a − 1/3)2	a2 − 2a/3 + 1/9
(x/2 + 3)2	x2/4 + 3x + 9
(2x/3 − 1)2	4x2/9 − 4x/3 + 1
(a/2 + b/4)2	a2/4 + ab/4 + b2/16

Binomios con el primer término negativo

Como (−a)² = a², se cumple que (−a + b)² = (a − b)² y que (−a − b)² = (a + b)².

Binomio	Desarrollo
(−x + 3)2	x2 − 6x + 9
(−a − b)2	a2 + 2ab + b2
(−2x + 5)2	4x2 − 20x + 25

Binomios con raíces

Binomio	Desarrollo
(√2 + 1)2	2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2
(√3 − 1)2	3 − 2√3 + 1 = 4 − 2√3
(2 + √3)2	4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3
(√5 + √2)2	5 + 2√10 + 2 = 7 + 2√10

Cálculo mental con el binomio al cuadrado

Operación	Desarrollo
212 = (20 + 1)2	400 + 40 + 1 = 441
312 = (30 + 1)2	900 + 60 + 1 = 961
412 = (40 + 1)2	1600 + 80 + 1 = 1681
512 = (50 + 1)2	2500 + 100 + 1 = 2601
192 = (20 − 1)2	400 − 40 + 1 = 361
492 = (50 − 1)2	2500 − 100 + 1 = 2401
982 = (100 − 2)2	10 000 − 400 + 4 = 9604
992 = (100 − 1)2	10 000 − 200 + 1 = 9801
1012 = (100 + 1)2	10 000 + 200 + 1 = 10 201
1022 = (100 + 2)2	10 000 + 400 + 4 = 10 404
10012 = (1000 + 1)2	1 000 000 + 2000 + 1 = 1 002 001

Tipos y casos relacionados

• Cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia: los dos casos de la fórmula.
• Proceso inverso: factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Si el primer y el último término son cuadrados y el término central es su doble producto, el trinomio se escribe como binomio al cuadrado.
• Otros productos notables: la suma por diferencia, (a + b)(a − b) = a² − b², y el binomio al cubo, (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Todos son casos del binomio de Newton.

Ejemplos de factorización

Trinomio	Binomio al cuadrado
x2 + 6x + 9	(x + 3)2
x2 − 14x + 49	(x − 7)2
4a2 + 4a + 1	(2a + 1)2
9x2 − 30xy + 25y2	(3x − 5y)2
m4 + 10m2 + 25	(m2 + 5)2

Ejercicios resueltos

Cómo usarlo

El binomio al cuadrado se usa para simplificar expresiones algebraicas, resolver ecuaciones de segundo grado por el método de completar el cuadrado (de donde se deduce la fórmula general), calcular áreas, hacer cálculo mental rápido y, en cursos superiores, trabajar con distancias, varianzas y derivadas. Dominarlo ahorra tiempo y evita el error clásico de olvidar el término central. Para practicar con los demás productos notables, consulta productos notables.

Preguntas frecuentes

Referencias

• Euclides. Elementos, libro II, proposición 4. Madrid: Gredos.
• Baldor, A. Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Vocabulario científico y técnico. Espasa.

Cómo citar este artículo

Equipo de Conceptualia. (2026). «Ejemplos de binomio al cuadrado». Conceptualia. https://conceptualia.es/ejemplos/ejemplos-de-binomio-cuadrado/

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Sobre el autor

Conceptualia — El equipo editorial de Conceptualia redacta y revisa cada concepto para que sea claro, riguroso y útil, con ejemplos y ejercicios cuando ayudan a entenderlo.