Ejemplos de vectores: 65 casos resueltos con cálculos

Un vector es una flecha con tamaño, dirección y sentido que permite describir desplazamientos, velocidades o fuerzas, y que en matemáticas se escribe con sus componentes, como (3, 4). Es una herramienta básica de la física, la geometría, la navegación, los videojuegos y hasta la inteligencia artificial. En este artículo reunimos 65 ejemplos de vectores con todos los cálculos comprobados: vectores en el plano y en el espacio, tipos de vectores, operaciones resueltas y aplicaciones de la vida real.

¿Qué es un vector?

Un vector es un segmento orientado, es decir, un segmento de recta al que se le asigna un sentido. Queda definido por cuatro elementos:

Módulo: su longitud o intensidad. Siempre es un número positivo o cero.
Dirección: la recta sobre la que se apoya (o cualquier paralela a ella).
Sentido: hacia qué extremo de esa recta apunta la flecha.
Origen o punto de aplicación: el punto donde empieza.

Se representa con una letra con una flecha encima o en negrita (v), o con sus componentes en un sistema de coordenadas: v = (v_x, v_y) en el plano o v = (v_x, v_y, v_z) en el espacio. La palabra procede del latín vector, «el que transporta o conduce», de vehere, «llevar». Si buscas qué magnitudes físicas son vectoriales y cuáles escalares, consulta los ejemplos de magnitudes vectoriales y escalares.

Reglas y fórmulas básicas

Operación	Fórmula (en el plano)
Vector entre dos puntos A y B	AB = (x_B − x_A, y_B − y_A)
Módulo	\|v\| = √(v_x² + v_y²) (en el espacio se añade v_z²)
Vector unitario	u = v / \|v\|
Suma y resta	(a₁, a₂) ± (b₁, b₂) = (a₁ ± b₁, a₂ ± b₂)
Producto por un número	k · (v_x, v_y) = (k·v_x, k·v_y)
Producto escalar	a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = \|a\| \|b\| cos α
Producto vectorial (espacio)	a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0, y paralelos si sus componentes son proporcionales.

Ejemplos de vectores

Vectores en el plano y su módulo

Vector	Cálculo del módulo	Módulo
1. (3, 4)	√(9 + 16)	5
2. (6, 8)	√(36 + 64)	10
3. (5, 12)	√(25 + 144)	13
4. (8, 15)	√(64 + 225)	17
5. (7, 24)	√(49 + 576)	25
6. (−3, −4)	√(9 + 16)	5
7. (0, −6)	√(0 + 36)	6
8. (−2, 0)	√(4 + 0)	2
9. (1, 1)	√(1 + 1)	√2 ≈ 1,41
10. (1, √3)	√(1 + 3)	2
11. (2, −5)	√(4 + 25)	√29 ≈ 5,39
12. (−1, 2)	√(1 + 4)	√5 ≈ 2,24

Vectores en el espacio y su módulo

Vector	Cálculo del módulo	Módulo
13. (1, 2, 2)	√(1 + 4 + 4)	3
14. (2, 3, 6)	√(4 + 9 + 36)	7
15. (1, 4, 8)	√(1 + 16 + 64)	9
16. (2, −1, 2)	√(4 + 1 + 4)	3
17. (4, 4, 7)	√(16 + 16 + 49)	9
18. (2, 6, 9)	√(4 + 36 + 81)	11
19. (1, 1, 1)	√(1 + 1 + 1)	√3 ≈ 1,73
20. (0, 0, 5)	√(0 + 0 + 25)	5

Tipos de vectores, con un ejemplo de cada uno

Vector nulo: 0 = (0, 0). Su módulo es 0 y no tiene dirección definida.
Vector unitario: (0,6; 0,8), porque √(0,36 + 0,64) = 1.
Vectores de la base canónica: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1).
Vectores opuestos: (2, −5) y (−2, 5): mismo módulo y dirección, sentido contrario.
Vectores equipolentes: AB con A(0, 0) y B(2, 3), y CD con C(4, 1) y D(6, 4); los dos valen (2, 3).
Vectores paralelos: (1, 2) y (3, 6), porque 3/1 = 6/2 = 3.
Vectores perpendiculares: (2, 3) y (3, −2), porque 2·3 + 3·(−2) = 0.
Vectores colineales: (1, 1), (−2, −2) y (5, 5), situados sobre la misma recta y = x.
Vectores concurrentes: las tensiones de los cables que sujetan una lámpara, que se unen en un mismo punto.
Vectores coplanarios: (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (1, 1, 0), todos en el plano z = 0.
Vector de posición: el punto P(3, −2) tiene el vector de posición OP = (3, −2).
Vector libre: el desplazamiento de un ascensor, igual para todos sus puntos.
Vector deslizante: la fuerza sobre un sólido rígido, que puede trasladarse a lo largo de su recta de acción sin cambiar su efecto.
Vector fijo o ligado: la fuerza que se aplica en un punto concreto de un muelle, cuyo efecto depende de dónde actúe.
Vector director de una recta: la recta y = 2x + 1 tiene como vector director (1, 2).
Vector normal de un plano: el plano 2x − y + 3z = 5 tiene como vector normal (2, −1, 3).

Operaciones con vectores resueltas

Vector entre A(1, 2) y B(4, 6): AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4), de módulo 5.
Suma: (2, 3) + (4, −1) = (6, 2).
Resta: (5, 7) − (2, 3) = (3, 4).
Producto por un número: 3 · (2, −1) = (6, −3).
Combinación lineal: 2·(1, 0) + 3·(0, 1) = (2, 3).
Punto medio de A(2, 4) y B(6, 8): M = ((2 + 6)/2, (4 + 8)/2) = (4, 6).
Producto escalar: (1, 2) · (3, 4) = 3 + 8 = 11.
Ángulo entre (1, 0) y (1, 1): cos α = 1/√2, así que α = 45°.
Ángulo entre (3, 4) y (4, 3): cos α = 24/25 = 0,96, así que α ≈ 16,3°.
Proyección de (4, 2) sobre (3, 4): (12 + 8)/5 = 4 unidades.
Producto vectorial de la base: i × j = k.
Producto vectorial: (1, 2, 3) × (4, 5, 6) = (2·6 − 3·5, 3·4 − 1·6, 1·5 − 2·4) = (−3, 6, −3).
Área del paralelogramo formado por (3, 0, 0) y (0, 4, 0): su producto vectorial es (0, 0, 12), luego el área es 12.

Vectores en la física y en la vida real

Un excursionista camina 5 km hacia el este y luego 12 km hacia el norte: su desplazamiento mide √(25 + 144) = 13 km.
Una barca avanza a 4 m/s perpendicular a la orilla en un río cuya corriente va a 3 m/s: respecto a la orilla se mueve a 5 m/s, desviada unos 36,9° (tan α = 3/4). Es un caso de movimiento relativo.
Un avión vuela a 800 km/h hacia el norte con viento de 60 km/h hacia el este: su velocidad respecto al suelo es √(640.000 + 3.600) ≈ 802 km/h, desviada unos 4,3°.
El «viento del norte» de los mapas del tiempo sopla desde el norte, así que su vector apunta hacia el sur.
Dos fuerzas perpendiculares de 6 N y 8 N dan una resultante de 10 N.
Dos fuerzas de 10 N que forman 60° dan una resultante de √(100 + 100 + 2·100·cos 60°) = √300 ≈ 17,3 N.
Juego de la soga: si un equipo tira con 300 N y el otro con 250 N en sentido contrario, la resultante es de 50 N hacia el primero.
Tirar de una maleta con 100 N formando 30° con el suelo: componente horizontal 100·cos 30° ≈ 86,6 N y vertical 100·sen 30° = 50 N.
Caja de 10 kg en una rampa de 30°: su peso (98 N) se descompone en 49 N paralelos a la rampa y unos 84,9 N perpendiculares.
El peso de una persona de 70 kg es un vector de 70·9,8 = 686 N vertical y hacia abajo (ver fuerza de gravedad).
Una lámpara colgada en reposo: la suma vectorial de las tensiones de los cables y del peso es cero, de modo que, según la segunda ley de Newton, su aceleración es nula.
El rumbo de un barco o un avión: 090° significa este y 180°, sur, medidos desde el norte en el sentido de las agujas del reloj.
Gráficos vectoriales (SVG, logotipos, tipografías), que guardan las formas como coordenadas y curvas y se amplían sin perder calidad.
Videojuegos: la velocidad del personaje es un vector (v_x, v_y); si no se normaliza, al moverse en diagonal iría √2 ≈ 1,41 veces más rápido.
Colores RGB, que se describen como un vector de tres componentes: el rojo puro es (255, 0, 0).
Inteligencia artificial: modelos como word2vec representan las palabras como vectores, de modo que «rey» − «hombre» + «mujer» queda cerca de «reina».

Fuera de las matemáticas, «vector» tiene otros significados: en biología es el organismo que transmite un patógeno (el mosquito tigre puede transmitir el dengue) y en informática se llama así a una lista ordenada de datos.

Ejercicios resueltos

★ Practica paso a paso

1. Calcula el módulo y el vector unitario de v = (−6, 8).

|v| = √(36 + 64) = 10. Vector unitario: v/|v| = (−0,6; 0,8).

2. Dados a = (2, 5) y b = (4, 3), calcula a + b y su módulo.

a + b = (6, 8), y su módulo es √(36 + 64) = 10.

3. ¿Son perpendiculares los vectores (4, −2) y (1, 2)?

Producto escalar: 4·1 + (−2)·2 = 4 − 4 = 0. Sí, son perpendiculares.

4. Halla el ángulo que forman a = (2, 2) y b = (0, 3).

a · b = 0 + 6 = 6; |a| = √8 ≈ 2,83; |b| = 3. cos α = 6/(2,83·3) ≈ 0,707, así que α = 45°.

5. Sobre un objeto actúan 5 N hacia el este y 12 N hacia el norte. ¿Cuál es la fuerza resultante?

|R| = √(25 + 144) = 13 N, formando con el este un ángulo α con tan α = 12/5, es decir, α ≈ 67,4° hacia el norte.

6. Calcula (2, 0, 0) × (0, 3, 0) e indica hacia dónde apunta.

(0·0 − 0·3, 0·0 − 2·0, 2·3 − 0·0) = (0, 0, 6): apunta en el sentido del eje z positivo, perpendicular a los dos vectores, según la regla de la mano derecha.

Importancia de los vectores

Los vectores son el lenguaje con el que la física describe todo lo que tiene dirección: desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas o campos. Sin ellos no podrían enunciarse las leyes de Newton, incluida la tercera ley, ni calcular la estructura de un puente o la trayectoria de un satélite. En matemáticas son la base de la geometría analítica y del álgebra lineal, y en la tecnología actual están por todas partes: el GPS, los motores gráficos de los videojuegos, el diseño por ordenador, la robótica y los modelos de inteligencia artificial trabajan, en el fondo, con listas de números que se suman, se multiplican y se comparan como vectores.

Preguntas frecuentes

¿Cuáles son los elementos de un vector?

Módulo (su longitud o intensidad), dirección (la recta sobre la que actúa), sentido (hacia dónde apunta) y punto de aplicación u origen (dónde empieza).

¿Cómo se calcula el módulo de un vector?

Con el teorema de Pitágoras: se suman los cuadrados de sus componentes y se hace la raíz cuadrada. Por ejemplo, el módulo de (3, 4) es √(9 + 16) = 5.

¿Qué diferencia hay entre dirección y sentido?

La dirección es la recta sobre la que se apoya el vector; el sentido indica hacia cuál de los dos extremos de esa recta apunta. Dos vectores opuestos tienen la misma dirección y sentidos contrarios.

¿Qué es un vector unitario?

Es un vector de módulo 1 que solo indica una dirección y un sentido. Se obtiene dividiendo un vector entre su módulo; los más usados son i, j y k, en la dirección de los ejes x, y, z.

¿Para qué sirve el producto escalar?

Para calcular el ángulo entre dos vectores, comprobar si son perpendiculares (el resultado es 0) y, en física, para obtener el trabajo de una fuerza, que es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.

Referencias

Serway, R. A. y Jewett, J. W. Física para ciencias e ingeniería. Cengage Learning.
Grossman, S. I. Álgebra lineal. McGraw-Hill.
Spiegel, M. R. Análisis vectorial. McGraw-Hill (serie Schaum).

Cómo citar este artículo

Equipo de Conceptualia. (2026). «Ejemplos de vectores». Conceptualia. https://conceptualia.es/ejemplos/ejemplos-de-vectores/

Sobre el autor

Conceptualia — El equipo editorial de Conceptualia redacta y revisa cada concepto para que sea claro, riguroso y útil, con ejemplos y ejercicios cuando ayudan a entenderlo.