Geometría
La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades y medidas de las figuras y los cuerpos en el plano y en el espacio.
La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades, las medidas y las relaciones de los puntos, las líneas, los ángulos, las superficies y los cuerpos en el plano y en el espacio. Nació para medir tierras y construir, y hoy sostiene disciplinas tan distintas como la arquitectura, la cartografía, la física y los gráficos por ordenador.
¿Qué es la geometría?
La geometría es la parte de las matemáticas dedicada al estudio de las figuras geométricas: su forma, su tamaño, su posición y las relaciones entre ellas. La palabra procede del griego geometría, formada por geo («tierra») y metron («medida»): literalmente, «medida de la tierra».
Como toda teoría matemática, se construye de forma deductiva: se parte de unos conceptos primitivos (punto, recta y plano) y de unos axiomas o postulados que se aceptan sin demostración, y a partir de ellos se demuestran teoremas.
Breve historia de la geometría
- Egipto y Mesopotamia: desarrollaron reglas prácticas para repartir terrenos tras las crecidas del Nilo, calcular áreas y levantar edificios.
- Grecia: Tales de Mileto y Pitágoras empezaron a demostrar propiedades de forma lógica. Hacia el 300 a. C., Euclides reunió el saber de su época en los Elementos, el tratado que fijó el método axiomático.
- Siglo XVII: René Descartes (La Géométrie, 1637) y Pierre de Fermat unieron álgebra y geometría, lo que dio lugar a la geometría analítica.
- Siglo XIX: Gauss, Bolyai, Lobachevski y Riemann mostraron que existen geometrías coherentes que no cumplen el quinto postulado de Euclides, las llamadas geometrías no euclídeas.
- Finales del XIX y siglo XX: Felix Klein definió las geometrías por sus grupos de transformaciones (Programa de Erlangen, 1872) y David Hilbert reformuló los axiomas de la geometría euclídea (1899).
Conceptos básicos
Punto, recta y plano
El punto indica una posición y no tiene dimensiones. La recta es una línea ilimitada en ambos sentidos que tiene una sola dimensión. El plano es una superficie sin espesor que se extiende indefinidamente. Un segmento es la parte de recta comprendida entre dos puntos, y una semirrecta, la parte que parte de un punto y se extiende sin límite.
Ángulos
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común. Se mide en grados: el ángulo recto mide 90°, el agudo menos de 90°, el obtuso más de 90° y menos de 180°, y el llano 180°.
Los cinco postulados de Euclides
- Por dos puntos distintos pasa una única recta.
- Todo segmento puede prolongarse indefinidamente en línea recta.
- Con cualquier centro y radio se puede trazar una circunferencia.
- Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
- Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela a ella (en la formulación equivalente más habitual).
Ramas de la geometría
| Rama | Qué estudia |
|---|---|
| Geometría plana | Figuras de dos dimensiones: polígonos, triángulos, círculos. |
| Geometría del espacio | Cuerpos de tres dimensiones: prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. |
| Geometría analítica | Figuras mediante coordenadas y ecuaciones algebraicas. |
| Geometría descriptiva | Representación de cuerpos en el plano mediante proyecciones; base del dibujo técnico. |
| Geometría proyectiva | Propiedades que se conservan al proyectar, como en la perspectiva. |
| Geometría diferencial | Curvas y superficies mediante el cálculo infinitesimal. |
| Geometrías no euclídeas | Hiperbólica y elíptica, en las que cambia el quinto postulado; la elíptica describe, por ejemplo, la superficie de una esfera. |
Teoremas fundamentales
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
Teorema de Tales
Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos determinados en una son proporcionales a los correspondientes en la otra. De él se deduce el concepto de semejanza de triángulos.
Suma de los ángulos de un triángulo
En geometría euclídea los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°. En un polígono de n lados la suma es:
Fórmulas geométricas básicas
| Figura | Perímetro | Área |
|---|---|---|
| Cuadrado (lado l) | 4l | l² |
| Rectángulo (b, h) | 2(b + h) | b × h |
| Triángulo (base b, altura h) | a + b + c | (b × h) ÷ 2 |
| Círculo (radio r) | 2πr | πr² |
Aplicaciones
- Arquitectura e ingeniería: cálculo de estructuras, cubiertas y cimentaciones.
- Topografía y cartografía: medición del terreno y proyecciones de mapas; el GPS se apoya en geometría de esferas.
- Informática gráfica: videojuegos y cine modelan objetos con mallas de triángulos.
- Física: la teoría de la relatividad general usa geometría no euclídea para describir el espacio-tiempo.
Ejercicios resueltos
1. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, luego c = √100 = 10. Resultado: 10 cm.
2. Dos ángulos de un triángulo miden 50° y 65°. ¿Cuánto mide el tercero?
La suma de los tres es 180°: 180° − 50° − 65° = 65°. Resultado: 65° (el triángulo es isósceles).
3. Un poste de 2 m proyecta una sombra de 3 m. En el mismo momento, un árbol proyecta una sombra de 12 m. ¿Qué altura tiene el árbol?
Por Tales (triángulos semejantes): altura ÷ 12 = 2 ÷ 3, luego altura = 2 × 12 ÷ 3 = 8. Resultado: 8 m.
4. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un hexágono?
n = 6, así que (6 − 2) × 180° = 4 × 180° = 720°. Resultado: 720°.
Preguntas frecuentes
¿Quién es el padre de la geometría?
¿Para qué sirve la geometría en la vida diaria?
¿Qué diferencia hay entre geometría plana y del espacio?
¿Qué son las geometrías no euclídeas?
¿Qué relación tiene la geometría con la trigonometría?
Referencias
- Euclides. Elementos. Madrid: Editorial Gredos.
- Baldor, A. Geometría y trigonometría. Publicaciones Cultural.
- Boyer, C. B. Historia de la matemática. Madrid: Alianza Editorial.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2025). «Geometría». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/geometria/
