Geometría analítica
La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante coordenadas y ecuaciones algebraicas.
La geometría analítica es la rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas mediante un sistema de coordenadas y ecuaciones algebraicas. Gracias a ella, un punto se convierte en un par de números, una recta en una ecuación y un problema de dibujo en un problema de cálculo. Es la base del cálculo, de la física y de los gráficos por ordenador.
¿Qué es la geometría analítica?
La geometría analítica es la parte de la geometría que representa los puntos del plano o del espacio por coordenadas y las figuras por ecuaciones, de modo que sus propiedades se estudian con herramientas del álgebra. También se llama geometría cartesiana, en honor a René Descartes.
Sus dos problemas fundamentales son complementarios: dada una figura (lugar geométrico), hallar su ecuación; y dada una ecuación, trazar la figura que representa.
Origen e historia
Se considera fundada en el siglo XVII. René Descartes la expuso en La Géométrie (1637), apéndice de su Discurso del método, y Pierre de Fermat desarrolló ideas equivalentes de forma independiente. El término «cartesiano» procede de Cartesius, la forma latina del apellido de Descartes. Esta unión del álgebra con la geometría abrió el camino al cálculo diferencial de Newton y Leibniz.
El plano cartesiano
El plano cartesiano se forma con dos rectas numéricas perpendiculares que se cortan en el origen O(0, 0): el eje horizontal (eje X o de abscisas) y el eje vertical (eje Y o de ordenadas). Cada punto se identifica con un par ordenado P(x, y). Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. En el espacio se añade un tercer eje Z y los puntos son ternas (x, y, z).
Existen otros sistemas, como las coordenadas polares, que describen un punto por su distancia al origen y el ángulo que forma con el eje X; la trigonometría permite pasar de unas coordenadas a otras.
Fórmulas fundamentales
Distancia entre dos puntos
La distancia entre A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) se deduce del teorema de Pitágoras, aplicado al triángulo rectángulo que forman los dos puntos y las proyecciones de ambos sobre los ejes:
Punto medio de un segmento
Pendiente de una recta
La pendiente mide la inclinación de la recta: es positiva si sube, negativa si baja y cero si es horizontal. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1.
Ecuaciones de la recta
| Forma | Ecuación | Datos necesarios |
|---|---|---|
| Punto-pendiente | y − y₁ = m(x − x₁) | Un punto y la pendiente |
| Explícita | y = mx + n | Pendiente m y ordenada en el origen n |
| General | Ax + By + C = 0 | Coeficientes A, B, C |
| Dos puntos | (y − y₁) ÷ (y₂ − y₁) = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) | Dos puntos de la recta |
La distancia de un punto P(x₀, y₀) a la recta Ax + By + C = 0 es:
Las cónicas
Las cónicas son las curvas que resultan de cortar un cono con un plano. Cada una tiene una ecuación característica:
| Cónica | Ecuación reducida | Excentricidad (e) |
|---|---|---|
| Circunferencia (centro h, k) | (x − h)² + (y − k)² = r² | 0 |
| Elipse | x²/a² + y²/b² = 1 | 0 < e < 1 |
| Parábola | y² = 4px | 1 |
| Hipérbola | x²/a² − y²/b² = 1 | e > 1 |
Las órbitas de los planetas son elipses, las antenas parabólicas concentran las señales en un foco y la trayectoria de un proyectil sin rozamiento es una parábola.
Aplicaciones
- Funciones y gráficas: toda función matemática se representa como una curva en el plano cartesiano.
- Física e ingeniería: trayectorias, vectores, fuerzas y diseño de piezas.
- Informática: gráficos 2D y 3D, videojuegos y animación se basan en coordenadas.
- Geolocalización: latitud, longitud y altitud son coordenadas que ubican cualquier punto.
Ejercicios resueltos
1. Calcula la distancia entre A(1, 2) y B(4, 6) y el punto medio del segmento AB.
d = √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5. Punto medio: ((1 + 4) ÷ 2 , (2 + 6) ÷ 2) = (2,5 ; 4). Resultado: d = 5 y M(2,5 ; 4).
2. Halla la ecuación de la recta que pasa por (1, 2) y (3, 8).
Pendiente: m = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3. Punto-pendiente: y − 2 = 3(x − 1) → y = 3x − 3 + 2 = 3x − 1. Resultado: y = 3x − 1, o en forma general 3x − y − 1 = 0.
3. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro (2, −1) y radio 3.
Se aplica (x − h)² + (y − k)² = r² con h = 2, k = −1 y r = 3: (x − 2)² + (y + 1)² = 9. Resultado: (x − 2)² + (y + 1)² = 9.
4. Calcula la distancia del punto P(3, 4) a la recta 3x + 4y − 5 = 0.
d = |3·3 + 4·4 − 5| ÷ √(3² + 4²) = |9 + 16 − 5| ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4. Resultado: 4 unidades.
Preguntas frecuentes
¿Qué estudia la geometría analítica?
¿Quién inventó la geometría analítica?
¿Qué es la pendiente de una recta?
¿Cómo saber si dos rectas son perpendiculares?
¿Qué diferencia hay entre geometría analítica y geometría clásica?
Referencias
- Descartes, R. La Géométrie (1637), apéndice del Discurso del método.
- Lehmann, C. H. Geometría analítica. México: Limusa.
- Boyer, C. B. Historia de la matemática. Madrid: Alianza Editorial.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Geometría analítica». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/geometria-analitica/
