Proporción
Igualdad entre dos razones, a/b = c/d, que expresa que dos pares de cantidades guardan la misma relación.
En matemáticas, una proporción es la igualdad entre dos razones, es decir, entre dos comparaciones por cociente. Sirve para expresar que dos pares de cantidades guardan la misma relación y es la base de la regla de tres, de las escalas de los mapas, de las recetas de cocina y de la semejanza de figuras. Se escribe a/b = c/d y se lee «a es a b como c es a d».
¿Qué es una proporción?
En matemáticas, una proporción es la igualdad de dos razones. Antes de definirla conviene entender qué es una razón: la razón entre dos cantidades a y b (con b distinto de cero) es el cociente a/b, que indica cuántas veces contiene una a la otra. Si en una clase hay 12 chicas y 18 chicos, la razón entre chicas y chicos es 12/18, que simplificada es 2/3.
La palabra «proporción» procede del latín proportio, formada a partir de pro portione, «en relación con la parte». La teoría de la proporción es muy antigua: Eudoxo la formuló con rigor y Euclides la recogió en los libros V y VI de sus Elementos.
Razón y proporción
También se escribe a : b = c : d. Los términos de la proporción reciben nombres propios:
- Extremos: el primero (a) y el cuarto (d).
- Medios: el segundo (b) y el tercero (c).
- Antecedentes: a y c. Consecuentes: b y d.
Propiedad fundamental
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Esta propiedad permite comprobar si cuatro números forman una proporción y calcular el término desconocido.
Por ejemplo, 3/4 = 15/20 es una proporción porque 3 × 20 = 60 y 4 × 15 = 60. En cambio, 2/3 y 5/8 no lo son, ya que 2 × 8 = 16 y 3 × 5 = 15.
De ahí se despeja el valor que falta. Si el término desconocido es x en a/b = c/x, entonces x = (b × c) ÷ a. Este valor se llama cuarto proporcional. Cuando los medios son iguales (a/b = b/c) se dice que b es la media proporcional entre a y c, y vale b = √(a × c).
Otras propiedades útiles son que se pueden intercambiar los medios entre sí o los extremos entre sí sin que deje de cumplirse la proporción, y que a/b = c/d implica (a + b)/b = (c + d)/d.
Magnitudes directa e inversamente proporcionales
Dos magnitudes se relacionan mediante la proporcionalidad cuando al variar una, la otra cambia de forma regular. Hay dos tipos:
| Característica | Proporcionalidad directa | Proporcionalidad inversa |
|---|---|---|
| Comportamiento | Si una magnitud se multiplica por un número, la otra se multiplica por el mismo | Si una magnitud se multiplica por un número, la otra se divide por él |
| Constante | Cociente constante: y/x = k | Producto constante: x × y = k |
| Gráfica | Recta que pasa por el origen | Hipérbola |
| Ejemplo | Kilos de fruta y precio a pagar | Número de obreros y días para acabar una obra |
La constante k se llama constante de proporcionalidad. Si 5 kg de manzanas cuestan 12,50 €, la constante es 12,50 ÷ 5 = 2,50 €/kg.
¿Cómo se calcula? La regla de tres
La regla de tres es el procedimiento que usa la propiedad fundamental para hallar una cantidad desconocida a partir de otras tres.
Regla de tres simple directa
Se aplica a magnitudes directamente proporcionales. Se colocan los datos en dos filas y se multiplica en cruz:
Regla de tres simple inversa
Se aplica a magnitudes inversamente proporcionales. Como el producto es constante, se multiplica en línea:
Regla de tres compuesta
Interviene cuando hay más de dos magnitudes. Se estudia la relación de cada una con la incógnita, directa o inversa, y se combinan los factores correspondientes.
La proporción áurea
La proporción áurea es la que se da cuando el cociente entre la suma de dos segmentos y el mayor es igual al cociente entre el mayor y el menor. Su valor es el número áureo, designado con la letra griega φ (fi):
Aparece en la geometría del pentágono regular y se relaciona con la sucesión de Fibonacci, ya que el cociente entre dos términos consecutivos se aproxima a φ. Se ha utilizado como criterio estético en arte y arquitectura, aunque muchas afirmaciones populares sobre su presencia en obras concretas carecen de evidencia sólida.
Aplicaciones
Las proporciones permiten ajustar los ingredientes de una receta según el número de comensales, interpretar la escala de un plano (1:50 000 significa que 1 cm del mapa equivale a 50 000 cm reales), calcular el porcentaje de una cantidad y resolver problemas de velocidad, mezclas o repartos proporcionales. En geometría son la base de la semejanza: dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales, resultado que se atribuye a Tales de Mileto y que fundamenta la trigonometría.
Ejercicios resueltos
1. Halla x en la proporción 3/4 = x/20.
Aplicamos la propiedad fundamental: 4 × x = 3 × 20 = 60. Despejamos: x = 60 ÷ 4 = 15. Comprobación: 3/4 = 0,75 y 15/20 = 0,75. Resultado: x = 15.
2. Si 5 kg de manzanas cuestan 12,50 €, ¿cuánto cuestan 8 kg?
Es proporcionalidad directa: 5 kg → 12,50 €; 8 kg → x. Entonces x = 8 × 12,50 ÷ 5 = 100 ÷ 5 = 20. Resultado: 20 €.
3. Cuatro obreros terminan una obra en 12 días. ¿Cuántos días tardarán seis obreros trabajando al mismo ritmo?
Más obreros, menos días: proporcionalidad inversa. El producto es constante: 4 × 12 = 48 «días-obrero». Con 6 obreros: x = 48 ÷ 6 = 8. Resultado: 8 días.
4. En un mapa de escala 1:50 000, dos ciudades están separadas 3 cm. ¿Qué distancia real hay entre ellas?
Distancia real = 3 cm × 50 000 = 150 000 cm. Como 100 000 cm = 1 km, son 1,5 km. Resultado: 1,5 km.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una proporción en matemáticas?
¿Cuál es la diferencia entre razón y proporción?
¿Cómo se comprueba si dos razones forman una proporción?
¿Qué diferencia hay entre proporcionalidad directa e inversa?
¿Para qué sirve la regla de tres?
Referencias
- Euclides: Elementos, Libros V y VI (teoría de la proporción y semejanza).
- Baldor, A.: Aritmética. Publicaciones Cultural.
- Livio, M.: La proporción áurea: la historia de phi, el número más sorprendente del mundo. Ariel.
Cómo citar este artículo
Equipo de Conceptualia. (2026). «Proporción». Conceptualia. https://conceptualia.es/ciencias-naturales/matematica/proporcion/
