Matemáticas

Las matemáticas son la ciencia que estudia las cantidades, las formas, las estructuras y los patrones mediante el razonamiento lógico. Funcionan como el lenguaje con el que se describen la física, la ingeniería, la economía o la informática, y también como una disciplina en sí misma, con sus propios problemas y teoremas. Desde contar objetos hasta demostrar propiedades del infinito, todo se construye a partir de definiciones precisas y deducciones rigurosas.

¿Qué son las matemáticas?

Las matemáticas son una ciencia formal que parte de objetos abstractos (números, figuras, conjuntos, funciones) y de reglas explícitas para razonar sobre ellos. Su rasgo distintivo es la demostración: una afirmación matemática no se acepta porque se haya comprobado en muchos casos, sino porque se deduce lógicamente de otras ya establecidas, a partir de unos puntos de partida llamados axiomas.

La palabra procede del griego máthēma (μάθημα), que significa «conocimiento», «estudio» o «aprendizaje». El adjetivo mathēmatikós designaba a quien tenía afición por aprender, y de ahí pasó al latín mathematica y al castellano. Se usa en plural porque abarca varias ramas, aunque «la matemática» en singular también es correcto.

¿En qué se diferencian de las ciencias naturales?

La física o la biología contrastan sus teorías con la observación y el experimento. Las matemáticas, en cambio, trabajan con la coherencia lógica: un teorema es verdadero dentro del sistema de axiomas en que se formula. Aun así, mantienen un vínculo estrecho con la realidad, porque muchas de sus estructuras nacieron para resolver problemas concretos, como repartir cosechas, medir terrenos o predecir el movimiento de los astros.

Ramas de las matemáticas

Las matemáticas se dividen en áreas que se solapan y se enriquecen entre sí. Estas son las principales:

Se habla además de matemáticas puras, que se desarrollan por su propio interés teórico, y de matemáticas aplicadas, orientadas a resolver problemas de otras disciplinas. La frontera es difusa: resultados puramente teóricos, como la teoría de números, acabaron sustentando la criptografía que protege las comunicaciones digitales.

Conceptos básicos

• Número: objeto abstracto que expresa una cantidad u orden. Los hay naturales, enteros, racionales, reales y complejos (ver números).
• Operación: regla que combina objetos matemáticos para producir otro, como la suma o la multiplicación.
• Función: relación que asocia a cada valor de entrada un único valor de salida (función matemática).
• Axioma: afirmación que se acepta sin demostración como punto de partida.
• Teorema: afirmación que se ha demostrado a partir de los axiomas y de otros teoremas (teorema).

Antes de operar conviene recordar el orden de las operaciones: primero paréntesis, después potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas.

Breve historia de las matemáticas

• Mesopotamia y Egipto (desde el III milenio a. C.): los babilonios usaron un sistema de numeración sexagesimal, del que heredamos los 60 minutos de la hora y los 360° de la circunferencia. Los egipcios resolvían problemas de reparto y de medida de terrenos, como muestra el papiro Rhind (hacia 1650 a. C.).
• Grecia (siglos VI a. C. – III d. C.): las matemáticas se convierten en ciencia demostrativa con Tales de Mileto, Pitágoras y, sobre todo, Euclides, cuyos Elementos (hacia 300 a. C.) organizan la geometría a partir de axiomas. Arquímedes calculó áreas y volúmenes con métodos que anticipan el cálculo integral.
• India y mundo islámico (siglos V–XIII): se perfeccionan el sistema decimal posicional y el cero. Al-Juarismi, en el siglo IX, escribió el tratado de donde proceden las palabras «álgebra» (al-jabr) y «algoritmo» (de su nombre).
• Europa medieval y renacentista: Fibonacci difundió los numerales indoarábigos con su Liber abaci (1202); en los siglos XV y XVI se consolidan la notación simbólica y la resolución de ecuaciones de grados tercero y cuarto.
• Siglo XVII: Descartes y Fermat unen álgebra y geometría, y Newton y Leibniz desarrollan, de forma independiente, el cálculo infinitesimal.
• Siglos XIX y XX: aparecen las geometrías no euclidianas, la teoría de conjuntos de Cantor y la axiomatización de Hilbert. En 1931 Gödel demostró que todo sistema formal suficientemente potente contiene afirmaciones que no pueden probarse ni refutarse dentro de él.

Utilidad en la vida cotidiana

Las matemáticas están presentes cuando se compara un descuento (porcentaje), se ajusta una receta (proporción), se calcula una hipoteca o se interpreta una encuesta. En el ámbito profesional sustentan la ingeniería, la medicina por imagen, los buscadores de internet, la inteligencia artificial y la economía. Además, entrenan el razonamiento lógico y la capacidad de abordar problemas con método.

Ejercicios resueltos

Preguntas frecuentes

Referencias

• Boyer, C. B.: Historia de la matemática. Alianza Editorial.
• Kline, M.: El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial.
• Courant, R. y Robbins, H.: ¿Qué es la matemática?. Aguilar.