Números enteros

Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, sus opuestos negativos y el cero. Se representan con la letra ℤ y permiten expresar situaciones como una deuda, una temperatura bajo cero o una profundidad respecto al nivel del mar. Con ellos la resta siempre tiene solución, algo que no ocurre con los números naturales.

¿Qué son los números enteros?

Los números enteros son los elementos del conjunto ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Incluyen a los enteros positivos (1, 2, 3…), a los enteros negativos (−1, −2, −3…) y al cero, que no es ni positivo ni negativo.

La letra ℤ procede del alemán Zahlen («números»). El adjetivo «entero» viene del latín integer, «intacto» o «completo»: son números sin parte fraccionaria. El conjunto de los enteros contiene a los naturales (ℕ ⊂ ℤ) y está contenido en los racionales y en los reales, como se explica en el artículo general sobre los números.

Representación en la recta numérica

Los enteros se sitúan en una recta con el cero como origen: los positivos a la derecha y los negativos a la izquierda. Cuanto más a la derecha está un número, mayor es. Así, −2 es mayor que −5, aunque 5 sea mayor que 2.

Conceptos clave

• Valor absoluto: es la distancia de un número al cero y se escribe |a|. Por ejemplo, |−7| = 7 y |7| = 7.
• Opuesto: el opuesto de a es −a. Verifica a + (−a) = 0. El opuesto de 4 es −4 y el de −9 es 9.
• Orden: dados dos enteros distintos, uno es siempre menor que el otro. Todo negativo es menor que cero y que cualquier positivo.

Operaciones con números enteros

Suma y resta

Si los dos números tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se conserva el signo: (−3) + (−4) = −7. Si tienen signos distintos, se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto: (−9) + 5 = −4. Restar equivale a sumar el opuesto: a − b = a + (−b).

Multiplicación y división

Se opera con los valores absolutos y el signo se obtiene con la regla de los signos.

La división de enteros no siempre da un entero: 7 ÷ 2 = 3,5. Cuando el cociente es entero, se dice que la división es exacta. Si no lo es, se utiliza la división entera: 7 = 2 · 3 + 1 (cociente 3, resto 1).

Jerarquía de operaciones

Primero se resuelven los paréntesis, luego las potencias, después multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y, por último, sumas y restas.

Propiedades de los números enteros

Los enteros no tienen inverso multiplicativo en general: no existe ningún entero que multiplicado por 3 dé 1. Esa carencia se resuelve con los números racionales. En lenguaje algebraico, (ℤ, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.

Múltiplos y divisores

Un entero a es divisor de b si existe un entero k tal que b = a · k. Entonces b es múltiplo de a. Por ejemplo, −3 divide a 12 porque 12 = (−3) · (−4). Todo entero mayor que 1 tiene al menos dos divisores positivos (1 y él mismo); si solo tiene esos dos, se trata de un número primo. Los enteros también se escriben con numerales distintos en otros sistemas, como el romano, que no tiene forma de expresar los negativos ni el cero.

Ejemplos de uso

• Temperaturas: −5 °C frente a 12 °C.
• Altitudes: el Mar Muerto está a unos −430 m respecto al nivel del mar.
• Economía: un saldo de −120 € indica una deuda.
• Plantas de un edificio: sótano −1, planta baja 0, primer piso 1.
• Informática: tipos de datos int que almacenan enteros con signo.

Ejercicios resueltos

Preguntas frecuentes

Referencias

• Baldor, A. Aritmética. Publicaciones Cultural.
• Courant, R. y Robbins, H. ¿Qué es la matemática? Fondo de Cultura Económica.
• Real Academia Española. Diccionario de la lengua española, entrada «entero».